(0,5 điểm) Một công viên được thiết kế trong đó có dựng các cột đèn chiếu sáng theo hình lục giác đều như hình sau.



Người ta muốn trồng cỏ thảm sao cho các đèn $A_2,A_3,A_5,A_6$ nằm ở mép ngoài của thảm và từ bất kì một vị trí nào của mép ngoài thảm có được trồng cỏ tổng khoảng cách đến các đèn $A_1,A_4$ đều bằng tổng khoảng cách từ một trong các trụ đèn còn lại đến hai cột $A_1,A_4$. Em hãy xác định đường viền mép ngoài của thảm cỏ, biết khoảng cách giữa hai cột đèn liên tiếp bằng $50m$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường viền mép ngoài thảm cỏ là một cung elip (một nửa elip) nhận $A_1,A_4$ làm hai tiêu điểm, đi qua bốn điểm $A_2,A_3,A_5,A_6$.

Tính toán: Lục giác đều cạnh $50m$ nên $A_1{A}_4$ là đường chéo lớn đi qua tâm, $A_1{A}_4=2\cdot 50=100m$, tức $2c=100\Rightarrow c=50m$.

Theo định nghĩa elip, với mọi điểm $M$ trên mép thảm: $M{A}_1+M{A}_4=2a$ (hằng số). Áp dụng tại $A_2$: do tính đối xứng của lục giác đều, $A_2{A}_1=50m$ (cạnh) và $A_2{A}_4=100m$ (đường chéo lớn), nên $2a=50+100=150\Rightarrow a=75m$.

Kiểm tra với $A_3$: $A_3{A}_1=100m$, $A_3{A}_4=50m$, tổng $=150m$ — thỏa mãn. Tương tự $A_5,A_6$ cũng có tổng $150m$, nên cả bốn đèn cùng nằm trên elip này.

Tính $b$: $b^2=a^2-c^2=75^2-50^2=5625-2500=3125\Rightarrow b=25\sqrt{5}\approx 55,9m$.

Kết luận: Mép ngoài thảm cỏ là nửa elip (phía chứa $A_2,A_3,A_5,A_6$) có tâm là tâm lục giác, trục lớn nằm trên đường thẳng $A_1{A}_4$ với độ dài trục lớn $2a=150m$, trục nhỏ $2b=50\sqrt{5}\approx 111,8m$, hai tiêu điểm là $A_1,A_4$, với $a=75m$, $b=25\sqrt{5}m$, $c=50m$. Phương trình elip (gốc tại tâm, trục $Ox$ theo $A_1{A}_4$): $\frac{x^2}{75^2}+\frac{y^2}{3125}=1$.