(1,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, $\widehat{ABC}=60^{\circ }$, $SA=SC,SB=SD$.

a) Chứng minh rằng $SO\perp (ABCD)$.

b) Gọi $K$ là điểm trên cạnh $CD$ sao cho $CK=\frac{1}{4}CD$ và $G$ là trọng tâm tam giác $SAC$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $GK$.

a) (0,5 điểm) Chứng minh rằng $SO\perp (ABCD)$.

$\Delta SAB$ có $SA=SC$ nên $\Delta SAB$ cân tại $S$ mà $SO$ là đường trung tuyến nên $SO\perp AC$

$\Delta SBD$ có $SB=SD$ nên $\Delta SBD$ cân tại $S$ mà $SO$ là đường trung tuyến nên $SO\perp BD$

Ta có $\{\begin{array}{l}SO\perp AC\\ SO\perp BD\end{array}$ suy ra $SO\perp (ABCD)$

b) (0,5 điểm) Gọi $K$ là điểm trên cạnh $CD$ sao cho $CK=\frac{1}{4}CD$ và $G$ là trọng tâm tam giác $SAC$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $GK$.

Gọi $E$ là trung điểm của $CD$ mà $O$ là trung điểm của $AC$ nên $OK$ là đường trung bình trong tam giác $ACE$ suy ra $OK//AE$ (1)

Xét tam giác cân $ABC$ tại $B$ có $\widehat{ABC}=60^{\circ }$ nên tam giác $ABC$ đều

Suy ra tam giác ACD đều nên $AE\perp CD$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $OK\perp CD$.

Từ $\{\begin{array}{l}CD\perp OK\\ CD\perp SO\end{array}$ suy ra $CD\perp (SOK)$.

Do đó $CD\perp GK$ mà AB//CD nên $AB\perp GK$

Vậy góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $GK$ bằng $90^0$