Biết ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\tan x\cdot f({\cos }^{2}x)dx=1$ và ${\int }_e^{e^2}\frac{f({\ln }^{2}x)}{x\ln x}dx=2$. Khi đó ${\int }_{\frac{1}{2}}^4\frac{f(x)}{x}dx$ bằng

Đặt $u={\cos }^{2}x\Rightarrow \frac{du}{u}=-2\tan xdx$, tích phân thứ nhất trở thành $\frac{1}{2}{\int }_{1/2}^1\frac{f(u)}{u}du=1\Rightarrow {\int }_{1/2}^1\frac{f(x)}{x}dx=2$. Đặt $v={\ln }^{2}x\Rightarrow \frac{dv}{v}=\frac{2dx}{x\ln x}$, tích phân thứ hai trở thành $\frac{1}{2}{\int }_1^4\frac{f(v)}{v}dv=2\Rightarrow {\int }_1^4\frac{f(x)}{x}dx=4$. Vậy ${\int }_{1/2}^4\frac{f(x)}{x}dx=2+4=6$.