Cho $0<m\ne 1$. Gọi $(a;b)$ là tập hợp các giá trị của $m$ để bất phương trình ${\log }_m(1-8m^{-x})\ge 2(1-x)$ có hữu hạn nghiệm nguyên. Tính $b-a$.

Chọn A.
Xét bất phương trình ${\log }_m(1-8m^{-x})\ge 2(1-x)$:
- Trường hợp 1: $m>1$.
Bất phương trình tương đương:
$1-8m^{-x}\ge m^{2(1-x)}=m^2\cdot m^{-2x}\iff m^2(m^{-x}{)}^2+8m^{-x}-1\le 0.$
Đặt $t=m^{-x}>0$. Ta có tam thức bậc hai $m^2{t}^2+8t-1\le 0$ có nghiệm dương $0<t\le \frac{-4+\sqrt{16+m^2}}{m^2}$.
Suy ra $m^{-x}\le \frac{-4+\sqrt{16+m^2}}{m^2}\iff -x\le {\log }_m\left(\frac{-4+\sqrt{16+m^2}}{m^2}\right)\iff x\ge x_0$.
Trường hợp này bất phương trình có vô hạn nghiệm nguyên $x\ge x_0$, không thỏa mãn.

- Trường hợp 2: $0<m<1$.
Bất phương trình đổi chiều:
$0<1-8m^{-x}\le m^2(m^{-x}{)}^2\iff \{\begin{array}{l}{m}^{-x}<\frac{1}{8}\\ m^2(m^{-x}{)}^2+8m^{-x}-1\ge 0\end{array}$
Vì $0<m<1$, ta có các khoảng nghiệm hữu hạn số nguyên khi và chỉ khi $m\in (0;1)$. Khoảng giá trị là $(a;b)=(0;1)$.
Vậy $b-a=1-0=1$.