Cho bất phương trình $(m-1){\log }_{\frac{1}{2}}^2(x-2)+4(m-5){\log }_{\frac{1}{\sqrt{2}}}(x-2)+4m-4\ge 0$ ($m$ là tham số thực). Tìm tập hợp tất cả các giá trị của $m$ để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in \left[\frac{5}{2};4\right]$.