Cho $F_1$, $F_2$ là hai tiêu điểm của elip $(E):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$. Tìm các điểm $M$ thuộc $(E)$ biết rằng $M{F}_1$ và $M{F}_2$ vuông góc nhau.

Phương trình của $(E)$ có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, $a>b$. Suy ra: $\{\begin{array}{l}{a}^2=25\\ b^2=9\end{array}\Rightarrow c^2=a^2-b^2=25-9=16\Rightarrow c=4$. $M{F}_1$ và $M{F}_2$ vuông góc nhau nên $M$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $O$ bán kính $R=c=4$, $(C)$ có phương trình là: $x^2+y^2=16$. Tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ phương trình: $$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=16\\ 9x^2+25y^2=225\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}^2=\frac{175}{16}\\ y^2=\frac{81}{16}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\pm \frac{5\sqrt{7}}{4}\\ y=\pm \frac{9}{4}\end{array}$$ Vậy: có 4 điểm $M$ là thỏa mãn bài toán là: $$M_1\left(\frac{5\sqrt{7}}{4};\frac{9}{4}\right),M_2\left(\frac{5\sqrt{7}}{4};-\frac{9}{4}\right),M_3\left(-\frac{5\sqrt{7}}{4};\frac{9}{4}\right),M_4\left(-\frac{5\sqrt{7}}{4};-\frac{9}{4}\right).$$