Cho $f(x)$ là hàm số bậc bốn thỏa mãn $f(0)=0$. Hàm số $f^{\prime }(x)$ có bảng biến thiên như sau:


Hàm số $g(x)=f(-x^2)+3x^2-x^4$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Chọn C.
Xét hàm số $g(x)=f(-x^2)+3x^2-x^4$.
Đạo hàm:
$$g^{\prime }(x)=-2x{f}^{\prime }(-x^2)+6x-4x^3=-2x\left[f^{\prime }(-x^2)-3+2x^2\right].$$
Ta có $g^{\prime }(x)=0⟺x=0$ hoặc $f^{\prime }(-x^2)=3-2x^2$.
Đặt $t=-x^2\le 0$, phương trình trở thành $f^{\prime }(t)=3+2t$ với $t\le 0$.
Đường thẳng $y=2t+3$ đi qua $(0;3)$ và $(-1;1)$.
Dựa vào bảng biến thiên của $f^{\prime }(x)$:
- Tại $t=0$, $f^{\prime }(0)=0<3$.
- Tại $t=-1$, $f^{\prime }(-1)=4>1=2(-1)+3$.
- Khi $t\to -\infty$, $f^{\prime }(t)\to -\infty$ trong khi $2t+3\to -\infty$ (và đồ thị cắt nhau tại 2 điểm âm phân biệt $t_1<-1<t_2<0$).
Với mỗi giá trị $t_k<0$, phương trình $-x^2=t_k$ cho 2 nghiệm thực phân biệt đối xứng qua 0.
Kết hợp với nghiệm $x=0$, hàm số $g(x)$ có $2\times 2+1=5$ điểm cực trị.