Cho hai hình vuông $ABCD$, $ABEF$ nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. $M$ là tâm của hình vuông $ABEF$. Cosin góc giữa hai mặt phẳng $(MCD),(EFCD)$ bằng

Gọi $N,K$ lần lượt là trung điểm của $AF,BE$. Khi đó $(MCD)$ trùng với $(NKCD)$.
Do $(ABCD)\perp (ABEF)$ theo giao tuyến $AB$ và $AF\perp AB$ nên $AF\perp (ABCD)\Rightarrow AF\perp CD$.
Mặt khác $CD\perp AD$ nên $CD\perp (ADF)$. Suy ra góc giữa hai mặt phẳng $(MCD)$ và $(EFCD)$ là $\alpha =\widehat{NDF}$.
Đặt $AB=a>0$. Trong tam giác $NDF$ có $NF=\frac{a}{2}$, $ND=\frac{a\sqrt{5}}{2}$, $DF=a\sqrt{2}$.
Theo định lý cosin: $\cos \alpha =\frac{D{F}^2+D{N}^2-F{N}^2}{2\cdot DN\cdot DF}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$.