Cho hàm số bậc 4 $y=f(x)$ có đạo hàm thỏa mãn $x{f}^{\prime }(x-1)=(x-3)f^{\prime }(x)$. Số cực trị của hàm số $y=f(x^2)$ là

Chọn B.
Từ giả thiết $x{f}^{\prime }(x-1)=(x-3)f^{\prime }(x)$:
- Thay $x=0$ ta được $-3f^{\prime }(0)=0\Rightarrow f^{\prime }(0)=0$.
- Thay $x=1$ ta được $f^{\prime }(0)=-2f^{\prime }(1)\Rightarrow f^{\prime }(1)=0$.
- Thay $x=2$ ta được $2f^{\prime }(1)=-f^{\prime }(2)\Rightarrow f^{\prime }(2)=0$.
Vì $y=f(x)$ là hàm số bậc 4 nên $f^{\prime }(x)$ là đa thức bậc 3. Do đó $f^{\prime }(x)$ có đúng 3 nghiệm phân biệt $0,1,2$, suy ra $f^{\prime }(x)=ax(x-1)(x-2)$ ($a\ne 0$).
Xét hàm số $g(x)=f(x^2)$, ta có:
$$g^{\prime }(x)=2x{f}^{\prime }(x^2)=2x\cdot a{x}^2(x^2-1)(x^2-2)=2a{x}^3(x-1)(x+1)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}).$$
Các nghiệm đơn của $g^{\prime }(x)$ là: $x=0$ (nghiệm bội 3, đổi dấu), $x=1,x=-1,x=\sqrt{2},x=-\sqrt{2}$ (nghiệm bội 1, đổi dấu).
Như vậy $g^{\prime }(x)$ đổi dấu qua tất cả 5 nghiệm trên, do đó hàm số $y=f(x^2)$ có đúng 5 điểm cực trị.