Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm là $f^{\prime }(x)$. Đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ được cho như hình vẽ bên. Biết rằng $f(0)+f(1)-2f(2)=f(4)-f(3)$. Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ và giá trị lớn nhất $M$ của $f(x)$ trên đoạn $[0;4]$?


Chọn D.
Dựa vào đồ thị của $f^{\prime }(x)$ trên đoạn $[0;4]$:
- Trên khoảng $(0;2)$, $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm số đồng biến trên $[0;2]$.
- Trên khoảng $(2;4)$, $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến trên $[2;4]$.
Do đó, giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $[0;4]$ đạt tại điểm cực đại $x=2$, tức $M=f(2)$.
Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta so sánh $f(0)$ và $f(4)$:
Theo giả thiết: $f(0)+f(1)-2f(2)=f(4)-f(3)⟺f(0)-f(4)=[f(2)-f(1)]+[f(2)-f(3)]$.
Vì hàm số đồng biến trên $[1;2]$ nên $f(2)>f(1)⟹f(2)-f(1)>0$.
Vì hàm số nghịch biến trên $[2;3]$ nên $f(2)>f(3)⟹f(2)-f(3)>0$.
Do đó $f(0)-f(4)>0⟺f(0)>f(4)$.
Vậy giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[0;4]$ là $m=f(4)$.
Kết luận: $m=f(4),M=f(2)$.