Cho hàm số $f(x)$ có $f(1)=2-2\sqrt{2}$ và $f^{\prime }(x)=\frac{1}{(x+1)\sqrt{x}+x\sqrt{x+1}}$ với $x>0$. Khi đó ${\int }_1^{3}f(x)dx$ bằng

Chọn A.
Ta biến đổi đạo hàm $f^{\prime }(x)$ với $x>0$:
$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})}$
$=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}}=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}.$
Do đó nguyên hàm của $f^{\prime }(x)$ là:
$f(x)=\int \left(\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right)dx=2\sqrt{x}-2\sqrt{x+1}+C.$
Theo giả thiết $f(1)=2-2\sqrt{2}⟺2\sqrt{1}-2\sqrt{2}+C=2-2\sqrt{2}⟺C=0$.
Vậy $f(x)=2\sqrt{x}-2\sqrt{x+1}$.
Khi đó tích phân cần tính là:
$I={\int }_1^3(2\sqrt{x}-2\sqrt{x+1})dx={\left[\frac{4}{3}x\sqrt{x}-\frac{4}{3}(x+1)\sqrt{x+1}\right]}_1^3$
$=\frac{4}{3}\left[(3\sqrt{3}-4\sqrt{4})-(1\sqrt{1}-2\sqrt{2})\right]=\frac{4}{3}\left[3\sqrt{3}-8-1+2\sqrt{2}\right]=\frac{4}{3}\left(3\sqrt{3}+2\sqrt{2}-9\right)$
$=4\sqrt{3}+\frac{8\sqrt{2}}{3}-12.$
Vậy ${\int }_1^{3}f(x)dx=4\sqrt{3}+\frac{8\sqrt{2}}{3}-12$.