Cho hàm số $f(x)$ là hàm đa thức bậc 3 và hai điểm $A(-1;3),B(1;-1)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=f(x)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\frac{f(x)}{f(x)+1}$ và $y=0$ bằng

Chọn B.
Giả sử $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$.
Vì hai điểm cực trị là $A(-1;3)$ và $B(1;-1)$ nên $f^{\prime }(-1)=0,f^{\prime }(1)=0,f(-1)=3,f(1)=-1$.
Ta có $f^{\prime }(x)=3a(x^2-1)=3a{x}^2-3a⟹f(x)=a{x}^3-3ax+d$.
Từ $f(1)=-2a+d=-1$ và $f(-1)=2a+d=3⟹d=1,a=1$.
Do đó $f(x)=x^3-3x+1$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $y=\frac{f(x)}{f(x)+1}$ với trục hoành $y=0$ là:
$f(x)=0⟺x^3-3x+1=0.$
Xét trên đoạn giới hạn giữa các nghiệm, hoặc theo biến đổi hàm phân thức:
Diện tích hình phẳng cần tính là $S=2-\ln 3$.