Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn điều kiện $f(x)=4xf(x^2)+2x+1$. Tính $I={\int }_0^{1}f(x)dx$.

Chọn B.
Lấy tích phân hai vế từ 0 đến 1:
${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^1[4xf(x^2)+2x+1]dx=4{\int }_0^{1}xf(x^2)dx+{\int }_0^1(2x+1)dx.$
Xét tích phân $J={\int }_0^{1}xf(x^2)dx$, đặt $t=x^2⟹dt=2xdx⟹xdx=\frac{1}{2}dt$.
Khi $x=0⟹t=0$; $x=1⟹t=1$.
Suy ra $J=\frac{1}{2}{\int }_0^{1}f(t)dt$.
Lại có ${\int }_0^1(2x+1)dx=[x^2+x{]}_0^1=2$.
Thay vào ta được:
$I=4\cdot \frac{1}{2}I+2=2I+2⟺-I=2⟺I=-2.$