Cho hàm số $f(x)=x^3-3x^2+2$ có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Hỏi phương trình ${\left(x^3-3x^2+2\right)}^3-3{\left(x^3-3x^2+2\right)}^2+2=0$ có bao nhiêu nghiệm thực dương phân biệt?

Phương pháp: Đặt $t=x^3-3x^2+2=f(x)$, dựa vào đồ thị hàm số đã cho tìm ra các nghiệm $t_i$. Xét các phương trình $f(x)=t_i$, số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm $y=f(x)$ và đường thẳng $y=t_i$ song song với trục hoành.
Cách giải: Đặt $t=x^3-3x^2+2=f(x)$ khi đó phương trình trở thành $t^3-3t^2+2=0$ và hàm số $f(t)=t^3-3t^2+2$ có hình dạng y như trên. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f(t)=0\iff \{\begin{array}{l}t=1-\sqrt{3}\\ t=1\\ t=1+\sqrt{3}\end{array}$
Với $t=1+\sqrt{3}\Rightarrow f(x)=1+\sqrt{3}$ (1). Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng $y=1+\sqrt{3}$ song song với trục hoành. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng $y=1+\sqrt{3}$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại 1 điểm có hoành độ dương duy nhất nên phương trình (1) có 1 nghiệm dương duy nhất.
Với $t=1\Rightarrow f(t)=1$ (2). Lập luận tương tự như trên ta thấy phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.
Với $t=1-\sqrt{3}\Rightarrow f(t)=1-\sqrt{3}$ (3). Phương trình 3 có 2 nghiệm dương phân biệt.
Vậy phương trình ban đầu có 5 nghiệm dương phân biệt.
Chọn B.
Chú ý: Sau khi đặt ẩn phụ và tìm ra được 3 nghiệm t, nhiều học sinh kết luận sai làm phương trình có 3 nghiệm phân biệt và chọn đáp án A. Số nghiệm của phương trình là số nghiệm x chứ không phải số nghiệm t.