Cho hàm số $f(x)=x^3+a{x}^2+bx$ ($a,b\in \mathbb{R}$). Biết hàm số $g(x)=f(x)-\frac{2}{3}{f}^{\prime }(x)+\frac{1}{6}{f}^{\prime \prime }(x)$ có hai điểm cực trị là $x=1,x=\frac{1}{3}$. Với mỗi $t$ là hằng số tùy ý thuộc đoạn $[0;1]$ gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: $x=0,y=f(t),y=f(x)$ và $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: $y=f(x),y=f(t),x=1$. Biểu thức $P=8S_1+4S_2$ có thể nhận được bao nhiêu giá trị là số nguyên?