Cho hàm số $y=|2x^3-3(2m+1)x^2+6(m^2+m)x-m|$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in (-10;10)$ để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(0;1)$?

Xét $f(x)=2x^3-3(2m+1)x^2+6(m^2+m)x-m$, có $f^{\prime }(x)=6(x-m)(x-m-1)$.
- Để $f(x)$ đồng biến và $f(x)\ge 0$ trên $(0;1)$: cần $m+1\le 0$ hoặc $m\ge 1$ kết hợp $f(0)=-m\ge 0\iff m\le -1$. Với $m\in (-10;10)\cap \mathbb{Z}$, có $9$ giá trị $m\in \{-9;-8;\dots ;-1\}$.
- Để $f(x)$ nghịch biến và $f(x)\le 0$ trên $(0;1)$: cần $m\le 0$ và $m+1\ge 1$ kết hợp $f(0)=-m\le 0\iff m=0$ ($1$ giá trị).
Vậy có tất cả $9+1=10$ giá trị nguyên của $m$.