Cho hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ với $a\ne 0$. Hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi

Ta có $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$. Hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y^{\prime }\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Đây là tam thức bậc hai với $3a\ne 0$, điều kiện là: $\{\begin{array}{l}3a>0\\ {\Delta }^{\prime }\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a>0\\ b^2-3ac\le 0\end{array}$.