Cho hàm số $y=f(x)$. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có bảng biến thiên như sau



Bất phương trình $f(x)>2\cos x+3m$ đúng với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ khi và chỉ khi

Bất phương trình tương đương $3m<f(x)-2\cos x,\forall x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$. Xét $h(x)=f(x)-2\cos x$, ta có $h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+2\sin x$. Dựa vào bảng biến thiên của $f^{\prime }(x)$ trên $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$, ta chứng minh được $h(x)$ đồng biến, do đó ${\min }_{\left[0;\frac{\pi }{2}\right]}h(x)=h(0)=f(0)-2$. Để bất phương trình đúng với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ thì $3m\le h(0)⟺m\le \frac{1}{3}[f(0)-2]$.