Cho hàm số $y=f(x)$ không âm thỏa mãn điều kiện $f(x)\cdot f^{\prime }(x)=2x\sqrt{f^2(x)+1}$ và $f(0)=0$. Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x),y=0,x=0,x=3$ quanh trục $Ox$ bằng:

**Chọn B**
2 f ( x) . f ' ( x)
Ta có: f ( x ) . f ' ( x ) = 2x f 2 ( x ) +1 
2 f ( x ) +1
2
= 2x  ( f ( x) +1)' = 2x .
2

 f 2 ( x ) + 1 = ∫ 2 xdx = x 2 + C  f 2 ( 0 ) + 1 = 02 + C  C = 1 ( do f ( 0 ) = 0 ) .

f 2 ( x ) + 1 = x 2 + 1  f 2 ( x ) + 1 = ( x 2 + 1)  f 2 ( x ) = x 4 + 2 x 2 .
2


21

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x ) , y = 0,
x = 0, x = 3 quanh trục Ox bằng:
333π
3 3
V = π ∫ f 2 ( x ) dx = π ∫ ( x 4 + 2 x 2 ) dx = .
0 0
5
π
3
x sin xdx