Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f^{\prime }(x)=(x^2-1)(x-1{)}^3(2-x)$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Chọn C.
Ta biến đổi đạo hàm:
$f^{\prime }(x)=(x-1)(x+1)(x-1{)}^3(2-x)=(x-1{)}^4(x+1)(2-x)$
Vì $(x-1{)}^4\ge 0$ với mọi $x$, dấu của $f^{\prime }(x)$ phụ thuộc vào dấu của $(x+1)(2-x)$.
Với mọi $x\in (-1;2)$, ta có $(x+1)(2-x)>0\Rightarrow f^{\prime }(x)\ge 0$ (dấu bằng chỉ xảy ra tại $x=1$).
Do đó hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên đoạn $[-1;2]$.
Vì $-1<1<2$ nên $f(-1)<f(1)<f(2)$.