Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông cạnh $2a$. Tam giác $SAD$ cân tại $S$ và nằm trong một mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết thể tích khối chóp bằng $\frac{4a^3}{3}$. Tính khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

Gọi $H$ là trung điểm $AD$, do tam giác $SAD$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy nên $SH\perp (ABCD)$.
Diện tích đáy $S_{ABCD}=(2a{)}^2=4a^2$.
Thể tích $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SH=\frac{4a^3}{3}\Rightarrow SH=a$.
Vì $AB\parallel CD$ nên $AB\parallel (SCD)$, do đó $d(B,(SCD))=d(A,(SCD))=2d(H,(SCD))$.
Kẻ $HK\perp CD$ tại $D$ ($K\equiv D$). Kẻ $HI\perp SD$ tại $I$.
Ta có $CD\perp (SAD)\Rightarrow CD\perp HI$, suy ra $HI\perp (SCD)$, nên $d(H,(SCD))=HI$.
Trong tam giác vuông $SHD$: $\frac{1}{H{I}^2}=\frac{1}{S{H}^2}+\frac{1}{H{D}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{2}{a^2}\Rightarrow HI=\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Do đó $d(B,(SCD))=2HI=a\sqrt{2}$.