Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ cạnh đáy bằng $2a$ và chiều cao bằng $a\sqrt{3}$. Tính khoảng cách từ tâm $O$ của đáy $ABC$ đến một mặt bên.

Chọn D.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Vì tam giác $ABC$ đều cạnh $2a$ nên $AM=2a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.
Tâm $O$ của đáy là trọng tâm tam giác $ABC$, suy ra $OM=\frac{1}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.
Vì $S.ABC$ là chóp đều nên $SO\perp (ABC)$ và $SO=a\sqrt{3}$.
Kẻ $OH\perp SM$ tại $H$. Ta có $BC\perp OM$ và $BC\perp SO\Rightarrow BC\perp (SOM)\Rightarrow BC\perp OH$.
Vì $OH\perp SM$ và $OH\perp BC$ nên $OH\perp (SBC)$, do đó khoảng cách từ $O$ đến mặt bên $(SBC)$ là $OH$.
Tam giác $SOM$ vuông tại $O$ với đường cao $OH$:
$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{S{O}^2}+\frac{1}{O{M}^2}=\frac{1}{3a^2}+\frac{1}{\frac{3a^2}{9}}=\frac{1}{3a^2}+\frac{3}{a^2}=\frac{10}{3a^2}\Rightarrow OH=a\sqrt{\frac{3}{10}}$.