Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, cạnh $BC=2a$ và $\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Biết tứ giác $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình thoi có góc $\widehat{B^{\prime }BC}$ nhọn, mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ vuông góc với $(ABC)$, góc giữa hai mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(ABC)$ bằng $45^{\circ }$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng

Trong mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ kẻ $B^{\prime }H\perp BC$ ($H\in BC$). Vì $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })\perp (ABC)$ nên $B^{\prime }H\perp (ABC)$. Trong $(ABC)$ kẻ $HK\parallel AC$ với $K\in AB$, suy ra $HK\perp AB$ và góc giữa $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(ABC)$ là $\widehat{B^{\prime }KH}=45^{\circ }$. Tam giác $B^{\prime }HK$ vuông cân tại $H$, đặt $x=B^{\prime }H=HK$.
Trong tam giác vuông $ABC$: $AC=BC\sin 60^{\circ }=a\sqrt{3}$, $AB=BC\cos 60^{\circ }=a$. Diện tích tam giác $ABC$ là $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.
Trong hình thoi $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$, cạnh $B{B}^{\prime }=BC=2a$, do đó $BH=\sqrt{B{B}^{\prime 2}-B^{\prime }{H}^2}=\sqrt{4a^2-x^2}$. Theo định lý Thales trong tam giác $ABC$: $\frac{BH}{BC}=\frac{HK}{AC}\iff \frac{\sqrt{4a^2-x^2}}{2a}=\frac{x}{a\sqrt{3}}\iff 3(4a^2-x^2)=4x^2\iff 7x^2=12a^2\iff x=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$.
Vậy thể tích khối lăng trụ là $V=S_{△ABC}\cdot B^{\prime }H=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{3a^3}{\sqrt{7}}$. Chọn đáp án C.