Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$ và $O$, $O^{\prime }$ lần lượt là tâm của hai hình vuông $ABCD$, $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$, $BC$, $CD$, $AD$.
1) Tính khoảng cách hai đường thẳng $N{O}^{\prime }$ và đường thẳng $PQ$.
2) Gọi $M^{\prime }$, $N^{\prime }$, $P^{\prime }$, $Q^{\prime }$ lần lượt là trung điểm các cạnh $A^{\prime }{B}^{\prime }$, $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $C^{\prime }{D}^{\prime }$, $A^{\prime }{D}^{\prime }$. Khi đó một vật thể $(\alpha )$ là phần giao nhau của hai hình chóp $O.M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$, $O^{\prime }.MNPQ$. Tính thể tích vật thể $(\alpha )$.

1) Ta có $MN\parallel PQ\Rightarrow PQ\parallel (MN{O}^{\prime })\supset N{O}^{\prime }$ nên $d(PQ,N{O}^{\prime })=d\left(PQ,(MN{O}^{\prime })\right)$. Đồng thời $d\left(PQ,(MN{O}^{\prime })\right)=2d\left(O,(MN{O}^{\prime })\right)$.
Gọi $E$ là $MN$, khi đó $O^{\prime }E\perp MN$ và $OH\perp O^{\prime }E$ tại $H$; mặt khác $MN\perp (O{O}^{\prime }E)\supset OH$ nên $OH\perp (MN{O}^{\prime })\Rightarrow d\left(O,(MN{O}^{\prime })\right)=OH$.
Xét tam giác $O{O}^{\prime }E$ vuông tại $O$:
$$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{E}^2}+\frac{1}{O{O}^{\prime 2}}\iff \frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{{\left(\frac{a\sqrt{2}}{4}\right)}^2}+\frac{1}{a^2}$$
$$\Rightarrow OH=\frac{a}{3}$$
Vậy $d(PQ,N{O}^{\prime })=d\left(PQ,(MN{O}^{\prime })\right)=2d\left(O,(MN{O}^{\prime })\right)=2OH=\frac{2a}{3}$.



2) Gọi $I$, $J$, $K$, $T$ lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng $M{O}^{\prime }$ với $O{M}^{\prime }$, $N{O}^{\prime }$ với $O{N}^{\prime }$, $P{O}^{\prime }$ với $O{P}^{\prime }$ và $Q{O}^{\prime }$ với $O{Q}^{\prime }$.
Xét tứ giác $ON{N}^{\prime }{O}^{\prime }$ có $O{O}^{\prime }$ vừa song song vừa bằng $N{N}^{\prime }$ và vuông góc với $O{N}^{\prime }$ nên tứ giác $ON{N}^{\prime }{O}^{\prime }$ là hình chữ nhật, suy ra $N{O}^{\prime }$ và $O{N}^{\prime }$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường $\Rightarrow I$ là trung điểm $N{O}^{\prime }$ và $O{N}^{\prime }$.
Lập luận tương tự ta chứng minh được rằng $I$, $J$, $K$, $T$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $O{M}^{\prime }$, $O{N}^{\prime }$, $O{P}^{\prime }$, $O{Q}^{\prime }$.



Suy ra
$$\{\begin{array}{l}IJ=KT=\frac{1}{2}{M}^{\prime }{N}^{\prime }=\frac{1}{2}{P}^{\prime }{Q}^{\prime }=\frac{1}{4}{A}^{\prime }{C}^{\prime }\\ IJ//KT//A^{\prime }{C}^{\prime }\end{array}\text{ vaˋ }$$
$$\{\begin{array}{l}JK=IT=\frac{1}{2}{N}^{\prime }{P}^{\prime }=\frac{1}{2}{M}^{\prime }{Q}^{\prime }=\frac{1}{4}{B}^{\prime }{D}^{\prime }=\frac{1}{4}{A}^{\prime }{C}^{\prime }\\ JK//IT//B^{\prime }{D}^{\prime }\end{array}$$
mặt khác $A^{\prime }{C}^{\prime }\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$ nên tứ giác $IJKT$ là hình vuông cạnh $\frac{a\sqrt{2}}{4}$.
Thể tích khối chóp $O.IJKT$ là $V_{O.IJKT}=\frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{a\sqrt{2}}{4}=\frac{a^2\sqrt{2}}{24}$ và cùng $V_{O^{\prime }.IJKT}$.
Vậy vật thể $(\alpha )$ có thể tích là $V_{O.IJKT}+V_{O^{\prime }.IJKT}$ bằng $\frac{a^2\sqrt{2}}{12}$.

Chú ý: Nếu thí sinh có cách giải khác và đúng vẫn cho đủ số điểm.