Cho khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, $A{A}^{\prime }=A^{\prime }B=A^{\prime }C$ và khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ là $\frac{3a\sqrt{2}}{5}$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Gọi $M$ là trung điểm của $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $G$ là trọng tâm $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Vì $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ đều cạnh $a$ nên $B^{\prime }M=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow GM=\frac{1}{3}{B}^{\prime }M=\frac{a\sqrt{3}}{6}$.
Do $A{A}^{\prime }=A^{\prime }B=A^{\prime }C$ và $△ABC$ đều nên hình chiếu vuông góc của $A$ trên $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ trùng với $G$, tức $AG\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.
Ta có $d(B,(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }))=d(B^{\prime },(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }))=3d(G,(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }))=\frac{3\cdot GM\cdot AG}{\sqrt{G{M}^2+A{G}^2}}$.
Suy ra $\frac{3\cdot \frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot AG}{\sqrt{\frac{a^2}{12}+A{G}^2}}=\frac{3a\sqrt{2}}{5}\iff AG=a\sqrt{2}$.
Vậy thể tích khối lăng trụ là $V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=S_{△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}\cdot AG=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{2}=\frac{\sqrt{6}{a}^3}{4}$.

[IMAGE:img_1]