Cho một hình tròn tâm $O$ bán kính là $R_1=60m$. Dựng tam giác đều $A_1{B}_1{C}_1$ nội tiếp đường tròn, sau đó lấy đường tròn nội tiếp tam giác $A_1{B}_1{C}_1$. Cứ tiếp tục làm quá trình như trên.

Hỏi diện tích của tam giác $A_9{B}_9{C}_9$ bằng bao nhiêu theo đơn vị mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính $R$ có đường tròn nội tiếp bán kính $r=\frac{R}{2}$ (tâm đường tròn nội tiếp trùng tâm đường tròn ngoại tiếp, khoảng cách từ tâm đến cạnh bằng nửa bán kính). Vậy sau mỗi bước bán kính giảm một nửa: $R_n=\frac{60}{2^{n-1}}$.

Tam giác đều $A_n{B}_n{C}_n$ nội tiếp đường tròn bán kính $R_n$ có cạnh $a_n=R_n\sqrt{3}$, diện tích $S_n=\frac{a_n^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}{R}_n^2$.

Với $n=9$: $R_9=\frac{60}{2^8}=\frac{60}{256}$, nên
$$S_9=\frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot {\left(\frac{60}{256}\right)}^2=\frac{2700\sqrt{3}}{65536}\approx 0,0714\approx 0,07{\text{ m}}^2.$$

Khớp đáp án nguồn $0,07$.