Cho $n\in \mathbb{N},n\ge 1$, số nguyên dương $k$ được gọi là một số $n-$tốt, nếu tồn tại $a\in \{1;2;3;\dots ;2026\}$ để $k$ là số nguyên dương nhỏ nhất thoả mãn số hữu tỉ $\frac{10^k-1}{n\cdot a}$ là số thập phân hữu hạn.

a) Chứng minh rằng $k=6$ là một số $18-$tốt.

b) Gọi $S(n)$ là tập hợp các số $n-$tốt. Tìm giá trị lớn nhất của $\left|S(n)\right|$ (kí hiệu $|S|$ là số phần tử của tập hợp $S$).

Lời giải (nguồn: CLB Toán Lim - LIM Olympic):

Trước hết ta có bổ đề quen thuộc sau:

Bổ đề 0.1. Cho $A$, $B$ là các số nguyên dương. Phân số $\frac{A}{B}$ biểu diễn được dưới dạng số thập phân hữu hạn khi và chỉ khi sau khi rút gọn phân số tối giản, mẫu số chỉ có các ước nguyên tố là 2 và 5.

(1) Chọn $a=7$, ta cần tìm số nguyên dương nhỏ nhất $k$ sao cho $\frac{10^k-1}{126}$ là số thập phân hữu hạn.
Ta có $126=2\cdot 63$ và $\gcd (10^k-1,10)=1$, nên $10^k-1$ không chia hết cho 2 hoặc 5.
Theo bổ đề trên, $\frac{10^k-1}{126}$ là số thập phân hữu hạn khi và chỉ khi $63\mid 10^k-1$.
Để ý $9\mid 10^k-1$ với mọi $k\ge 1$ và ${\mathrm{ord}}_{7}10=6$ nên ${\mathrm{ord}}_{63}10=6$.
Vậy 6 là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $63\mid 10^k-1$, suy ra 6 là một số 18-tốt.

(2) Cố định $n$. Viết $n=2^{\alpha }{5}^{\beta }m$, trong đó $\gcd (m,10)=1$.
Với mỗi $a\in \{1,2,\dots ,2026\}$, viết $a=2^r{5}^{s}c$, trong đó $\gcd (c,10)=1$. Khi đó $na=2^{\alpha +r}{5}^{\beta +s}mc$.
Vì $\gcd (10^k-1,10)=1$, từ số $10^k-1$ không có ước nguyên tố 2 hoặc 5.
Theo bổ đề trên, $\frac{10^k-1}{na}$ là số thập phân hữu hạn khi và chỉ khi $mc\mid 10^k-1$.
Do đó số nguyên dương nhỏ nhất $k$ tương ứng với $a$ là ${\mathrm{ord}}_{mc}(10)$.
Hơn nữa, số $k$ này chỉ phụ thuộc vào $c$ và không phụ thuộc vào các số mũ $r,s$.
Mặt khác, $1\le c\le 2026$ và $\gcd (c,10)=1$. Vì vậy $|S(n)|$ không vượt quá số các số nguyên dương không quá 2026 nguyên tố cùng nhau với 10, và số các số như vậy là
$$2026-\lfloor \frac{2026}{2}\rfloor -\lfloor \frac{2026}{5}\rfloor +\lfloor \frac{2026}{10}\rfloor =2026-1013-405+202=810.$$
Vì vậy $|S(n)|\le 810$ với mọi $n\ge 1$.
Giờ ta sẽ chứng minh tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho $|S(n)|=810$.
Chọn số nguyên dương $T$ sao cho $p-1\mid T$ với mọi số nguyên tố $p\le 2026$, $p\ne 2,5$, chẳng hạn
$$T=\mathrm{lcm}\{p-1:p\le 2026,p\text{ nguyeˆn toˆˊ},p\ne 2,5\}.$$
Đặt $M=10^T-1$. Ta sẽ chứng minh $|S(M)|=810$.
Với mỗi số nguyên tố $p\le 2026$, $p\ne 2,5$, theo định lý Fermat nhỏ, ta có $10^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$.
Vì $p-1\mid T$, suy ra $p\mid 10^T-1=M$ và hiển nhiên ${\mathrm{ord}}_M(10)=T$.
Ta sẽ chứng minh rằng với mọi $c\le 2026$ thỏa mãn $\gcd (c,10)=1$, ta có ${\mathrm{ord}}_{cM}(10)=cT$.
Trước hết, ta chứng minh $cM\mid 10^{cT}-1$.
Xét số nguyên tố $p\mid c$. Vì $p\le c\le 2026$ và $p\ne 2,5$, theo cách chọn $T$ ta có $p\mid M$. Theo LTE ta có
$$v_p(10^{cT}-1)=v_p\left((10^T{)}^c-1\right)=v_p(10^T-1)+v_p(c)=v_p(M)+v_p(c).$$
Còn với các số nguyên tố $p\nmid c$ nhưng $p\mid M$, ta có ngay $p^{v_p(M)}\mid 10^T-1\mid 10^{cT}-1$.
Vì vậy $cM\mid 10^{cT}-1$, suy ra ${\mathrm{ord}}_{cM}(10)\mid cT$.
Đặt $d={\mathrm{ord}}_{cM}(10)$. Vì $M\mid cM$, từ $10^d\equiv 1(\mathrm{mod}cM)$ suy ra $10^d\equiv 1(\mathrm{mod}M)$.
Do đó $T={\mathrm{ord}}_M(10)\mid d$. Viết $d=Tu$ với $u\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
Với mỗi số nguyên tố $p\mid c$, từ $cM\mid 10^d-1=10^{Tu}-1$ suy ra
$$v_p(c)+v_p(M)\le v_p(10^{Tu}-1).$$
Do $p\mid M=10^T-1$, áp dụng LTE ta được
$$v_p(10^{Tu}-1)=v_p(10^T-1)+v_p(u)=v_p(M)+v_p(u).$$
Suy ra $v_p(c)\le v_p(u)$ với mọi số nguyên tố $p\mid c$. Vậy $c\mid u$, nên $cT\mid d$.
Kết hợp với $d\mid cT$, ta được ${\mathrm{ord}}_{cM}(10)=cT$.
Bây giờ chọn $n=M$. Với mỗi $c\in \{1,2,\dots ,2026\}$ thỏa mãn $\gcd (c,10)=1$, lấy $a=c$.
Vì $\gcd (cM,10)=1$, theo bổ đề, số nguyên dương nhỏ nhất $k$ sao cho $\frac{10^k-1}{cM}$ là số thập phân hữu hạn chính là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn $cM\mid 10^k-1$. Do đó $k={\mathrm{ord}}_{cM}(10)=cT$.
Khi $c$ chạy qua các số không quá 2026 nguyên tố cùng nhau với 10, các số $cT$ đôi một khác nhau.
Có đúng 810 giá trị $c$ như vậy, nên $|S(M)|\ge 810$.
Kết hợp với $|S(n)|\le 810$ với mọi $n$, suy ra $|S(M)|=810$.
Vậy giá trị lớn nhất của $|S(n)|$ là $\boxed{810}$

Nhận xét: Bài toán trên đã xuất hiện trong IMO Shortlist 2017. Bằng cách làm tương tự, khi thay 2027 thành $N$ tổng quát thì ta có đáp số cần tìm là
$$N-\lfloor \frac{N}{2}\rfloor -\lfloor \frac{N}{5}\rfloor +\lfloor \frac{N}{10}\rfloor$$