Cho tứ diện $ABCD$, trên các cạnh $BC,BD,AC$ lần lượt lấy các điểm $M,N,P$ sao cho $BC=3BM,BD=\frac{3}{2}BN,AC=2AP$. Mặt phẳng $(MNP)$ chia tứ diện $ABCD$ thành hai phần có thể tích là $V_1,V_2$. Tính $\frac{V_1}{V_2}$.

Trong mặt phẳng $(BCD)$, gọi $E=MN\cap CD$; trong mặt phẳng $(ACD)$, gọi $Q=PE\cap AD$. Áp dụng định lý Menelaus cho $△BCD$ với cát tuyến $MNE$: $\frac{MB}{MC}\cdot \frac{EC}{ED}\cdot \frac{ND}{NB}=1\Rightarrow \frac{1}{2}\cdot \frac{EC}{ED}\cdot \frac{1}{2}=1\Rightarrow \frac{EC}{ED}=4\Rightarrow \frac{ED}{EC}=\frac{1}{4}$. Áp dụng định lý Menelaus cho $△ACD$ với cát tuyến $PQE$: $\frac{PA}{PC}\cdot \frac{EC}{ED}\cdot \frac{QD}{QA}=1\Rightarrow 1\cdot 4\cdot \frac{QD}{QA}=1\Rightarrow \frac{QD}{AD}=\frac{1}{5}$. Khi đó $\frac{V_{E.CMQ}}{V_{ABCD}}$ thu được phần khối đa diện nhỏ $V_1=\frac{19}{45}V$, phần còn lại $V_2=\frac{26}{45}V$, suy ra $\frac{V_1}{V_2}=\frac{19}{26}$.