Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(x;y)$ thoả mãn $0<x\le 2023$ và $3^x(x+1)=27^{y}y$?

Ta có $3^x(x+1)=27^{y}y=(3^3{)}^{y}y=3^{3y}y⟺3^{x+1}(x+1)=3^{3y}(3y)$. Xét hàm số $f(t)=3^t\cdot t$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, do đó $x+1=3y⟺x=3y-1$. Vì $0<x\le 2023⟺0<3y-1\le 2023⟺\frac{1}{3}<y\le \frac{2024}{3}\approx 674,67$. Vì $y$ nguyên dương nên $y\in \{1,2,\dots ,674\}$, có 674 giá trị $y$, mỗi giá trị $y$ cho đúng một giá trị $x$ nguyên dương. Vậy có 674 cặp $(x;y)$ thỏa mãn.