Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ thỏa mãn $(\sqrt{1+{\ln }^{2}a}+\ln a)(\sqrt{1+(a-3{)}^2}+a-3)\le 1$?

Nhận xét $(\sqrt{1+u^2}+u)(\sqrt{1+u^2}-u)=1\Rightarrow \sqrt{1+u^2}+u=\frac{1}{\sqrt{1+u^2}-u}=\sqrt{1+(-u{)}^2}+(-u)$. Bất đẳng thức tương đương $\sqrt{1+{\ln }^{2}a}+\ln a\le \sqrt{1+(3-a{)}^2}+(3-a)$. Xét hàm đặc trưng $f(t)=\sqrt{1+t^2}+t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, suy ra $\ln a\le 3-a\iff a+\ln a\le 3$. Với $a$ nguyên dương: khi $a=1\Rightarrow 1+0=1\le 3$ (thỏa mãn); khi $a=2\Rightarrow 2+\ln 2\approx 2,693\le 3$ (thỏa mãn); khi $a=3\Rightarrow 3+\ln 3>3$ (loại). Vậy có đúng 2 giá trị nguyên dương của $a$ là $a\in \{1;2\}$. Chọn A.