Có bao nhiêu số nguyên dương $x$ thỏa mãn ${\log }_7(x^2+x+1)\ge {\log }_{2}x$?

Chọn C
Điều kiện: $x>0$.
Đặt $t={\log }_{2}x\Rightarrow x=2^t$.
Bất phương trình trở thành ${\log }_7(4^t+2^t+1)\ge t\iff 4^t+2^t+1\ge 7^t\iff {\left(\frac{4}{7}\right)}^t+{\left(\frac{2}{7}\right)}^t+{\left(\frac{1}{7}\right)}^t\ge 1$.
Hàm số $f(t)={\left(\frac{4}{7}\right)}^t+{\left(\frac{2}{7}\right)}^t+{\left(\frac{1}{7}\right)}^t$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ và $f(1)=1$.
Do đó bất phương trình có nghiệm $t\le 1\iff {\log }_{2}x\le 1\iff x\le 2$.
Vì $x$ là số nguyên dương nên $x\in \{1;2\}$. Có 2 số nguyên dương thỏa mãn.