Một khinh khí cầu bay với độ cao (so với mực nước biển) tại thời điểm $t(0\le t\le 29)$ là $h(t)$, trong đó $t$ tính bằng phút, $h(t)$ tính bằng mét. Tốc độ bay của khinh khí cầu được cho bởi hàm số $v(t)=a{t}^2+bt(a,b\in \mathbb{R})$, với $t$ tính bằng phút, $v(t)$ tính bằng mét/phút. Tại thời điểm xuất phát, khinh khí cầu ở độ cao 520 m và 5 phút sau khi xuất phát, khinh khí cầu đã ở độ cao 530 m. Khinh khí cầu sẽ trở lại độ cao khi xuất phát sau 15 phút.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $h(0)=520$, $h(5)=530$, $h(15)=520$ và $h(t)=520+{\int }_0^{t}v(s)ds=\frac{a{t}^3}{3}+\frac{b{t}^2}{2}+520$, ta có hệ $\frac{125a}{3}+\frac{25b}{2}=10$ và $1125a+\frac{225b}{2}=0$. Giải được $a=-0,12$, $b=1,2$, tức $v(t)=-0,12t^2+1,2t$. a) $v(t)=0$ tại $t=10$, $h(10)=-40+60+520=540$ m là độ cao lớn nhất → Đúng. b) $v(t)>0$ trên $(0;10)$, $v(t)<0$ với $t>10$ nên tăng độ cao trong 10 phút đầu → Đúng. c) Đề cho xuất phát ở độ cao 520 m nên $h(0)=520$ m → Đúng (khớp đáp án 0002: 2c = Đ). d) Vì $h(0)=520\ne 0$, công thức đúng là $h(t)=520+{\int }_0^{t}v(s)ds$ → Sai (khớp đáp án 0002: 2d = S).
a) Vì $h(0)=520$, $h(5)=530$ và $h(15)=520$, ta có $h(t)=\frac{a{t}^3}{3}+\frac{b{t}^2}{2}+520$. Giải hệ $\frac{125a}{3}+\frac{25b}{2}=10$ và $1125a+\frac{225b}{2}=0$ được $a=-0,12$, $b=1,2$, tức $v(t)=-0,12t^2+1,2t$. Khi đó $v(t)=0$ tại $t=10$ (phút), và $h(10)=-40+60+520=540$ m là độ cao lớn nhất.
b) Với $v(t)=-0,12t^2+1,2t$, ta có $v(t)>0$ trên $(0;10)$ và $v(t)<0$ với $t>10$, nên khinh khí cầu tăng độ cao trong 10 phút đầu.
c) Đề bài cho tại thời điểm xuất phát ($t=0$) khinh khí cầu ở độ cao 520 m, nên $h(0)=520$ m là đúng. Phù hợp đáp án của đề 0002: 2c = Đ.
d) Vì $h(0)=520\ne 0$, công thức đúng phải là $h(t)=520+{\int }_0^{t}v(s)\mathrm{d}s$. Phù hợp đáp án của đề 0002: 2d = S.