Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${\log }_4(x+6)<2-2{\log }_{4}x$ bằng

Điều kiện $x>0$.
Ta có ${\log }_4(x+6)<2-2{\log }_{4}x\iff {\log }_4(x+6)<{\log }_4\frac{16}{x^2}\iff x+6<\frac{16}{x^2}\iff x^3+6x^2-16<0\iff (x-1)(x+2)(x+8)$ ... hay $(x+2{)}^2(x+2)$:
Ta phân tích $x^3+6x^2-16=(x+2)(x^2+4x-8)<0\iff x<-2-2\sqrt{3}$ hoặc $-2<x<-2+2\sqrt{3}$.
Kết hợp điều kiện $x>0$, ta có $0<x<-2+2\sqrt{3}\approx 1,464$.
Suy ra nghiệm nguyên duy nhất là $x=1$. Vậy bất phương trình có $1$ nghiệm nguyên.