Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình: ${\log }_{\frac{1}{2}}(x+1)<{\log }_{\frac{1}{2}}(2x-1)$.

Điều kiện: $\{\begin{array}{l}x+1>0\\ 2x-1>0\end{array}\iff x>\frac{1}{2}$.
Vì cơ số $0<\frac{1}{2}<1$ nên bất phương trình đảo chiều:
$x+1>2x-1\iff x<2$.
Kết hợp điều kiện, ta được: $\frac{1}{2}<x<2$, tức là $S=\left(\frac{1}{2};2\right)$.