Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$f(x+yf(x))+f(xy)=f(x)+f(2026y),\forall x,y\in \mathbb{R}.$$

Giả sử tồn tại hàm số $f$ thỏa mãn (1). Đặt $c=2026$.
Thay $x=c$ vào (1) ta được $f(c+yf(c))=f(c),\forall y\in \mathbb{R}$. (2)
*) Nếu $f(c)=k\ne 0$ thì từ (2) suy ra $f(c+ky)=k,\forall y\in \mathbb{R}$ nên $f(x)\equiv k,k\ne 0$. Mặt khác ta thấy $f(x)\equiv 0$ thỏa mãn, nên thử lại $f(x)$ là hàm hằng bất kì thỏa mãn.
*) Nếu $f(c)=0$. Ta sẽ tìm $f(x)$ khác hàm hằng.
Đặt $S=\{a\in \mathbb{R}:f(a)=0\}$. Ta thấy $c\in S$ nên $S\ne \varnothing$.
- TH1: $|S|=1$. Thay $y=1$ vào (1) ta có $f(x+f(x))=f(c)=0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Do đó $x+f(x)=c=2026,\forall x\in \mathbb{R}$. Suy ra $f(x)=2026-x,\forall x\in \mathbb{R}$. Thử lại thỏa mãn.
- TH2: $|S|>1$.
Thay $x=a\in S$ vào (1) ta được $f(ay)=f(cy),\forall y\in \mathbb{R},\forall a\in S$. (4)
Lấy $a\ne b\in S$. Thay $x=a{x}_0$ vào (1), ta có:
$$f(a{x}_0+yf(a{x}_0))=f(a{x}_0)+f(cy)-f(a{x}_{0}y)$$
$$\Rightarrow f(a{x}_0+yf(c{x}_0))=f(c{x}_0)+f(cy)-f(c{x}_{0}y)$$
Thay $x=b{x}_0$ vào (1), ta được $f(b{x}_0+yf(c{x}_0))=f(c{x}_0)+f(cy)-f(c{x}_{0}y)$
Suy ra $f(a{x}_0+yf(c{x}_0))=f(b{x}_0+yf(c{x}_0))$.
Chọn $T=(b-a)x_0$ ta có $f(a{x}_0+yf(c{x}_0))=f(a{x}_0+yf(c{x}_0)+T)$.
+) Nếu $S\ne {\mathbb{R}}^{\ast }$ thì tồn tại $x_0\ne 0$ sao cho $f(c{x}_0)\ne 0$.
Suy ra $f(y)=f(y+T),\forall y\in \mathbb{R}$. Thay $x=T$ vào (1) ta có
$$f(T+yf(T))+f(Ty)=f(T)+f(cy)\Rightarrow f(yf(0))+f(Ty)=f(0)+f(cy).$$
Vì $f(0)\in S$ nên $f(yf(0))=f(cy)$.
Suy ra $f(Ty)=f(0),\forall y\in \mathbb{R}$. (Mâu thuẫn)
+) Nếu $S={\mathbb{R}}^{\ast }$ thì dễ kiểm tra $f(x)=\{\begin{array}{ll}a,& khix=0\\ 0,& khix\ne 0\end{array}$ $(a\ne 0)$ thỏa mãn.
Kết luận: $f(x)=\{\begin{array}{ll}a,& khix=0\\ 0,& khix\ne 0\end{array}$ $(a\ne 0)$ hoặc $f(x)$ là hàm hằng hoặc $f(x)=2026-x,\forall x\in \mathbb{R}$.