Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2;1;1)$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-1}$. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ và cách $A$ một khoảng lớn nhất.

Gọi $I(1+2t;t;-2-t)$ là hình chiếu vuông góc của $A(2;1;1)$ lên $d$. Ta có $\overrightarrow{AI}=(2t-1;t-1;-t-3)$.
Vì $\overrightarrow{AI}\perp {\vec{u}}_d=(2;1;-1)$ nên $2(2t-1)+(t-1)-(-t-3)=6t=0\Rightarrow t=0\Rightarrow I(1;0;-2)$ và $\overrightarrow{IA}=(1;1;3)$.
Mặt phẳng $(P)$ chứa $d$ và cách $A$ khoảng lớn nhất sẽ nhận $\overrightarrow{IA}=(1;1;3)$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua $I(1;0;-2)$, nên có phương trình:
$(x-1)+y+3(z+2)=0\iff x+y+3z+5=0$.