Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2;-5;-3)$, mặt phẳng $(\alpha ):x-y-z+2=0$ và mặt cầu $(S):(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z-1{)}^2=8$. Biết rằng mặt phẳng $(\alpha )$ cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$. Tìm hoành độ của điểm $M$ thuộc đường tròn $(C)$ sao cho độ dài đoạn $AM$ lớn nhất?

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;-1;1)$ và bán kính $R=2\sqrt{2}$.
Khoảng cách từ $I$ đến $(\alpha )$ là $d(I,(\alpha ))=\frac{|2-(-1)-1+2|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+(-1{)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{3}}<R$, do đó $(\alpha )$ cắt $(S)$ theo một đường tròn $(C)$.
Gọi tọa độ điểm $M(a+2;b-1;c+1)$. Khi đó:
$$\{\begin{array}{l}M\in (\alpha )\\ M\in (S)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a-b-c+4=0\\ a^2+b^2+c^2=8\end{array}$$
Từ phương trình thứ nhất suy ra $c=a-b+4$, thế vào phương trình thứ hai ta được:
$$a^2+b^2+(a-b+4{)}^2=8\iff 2b^2-2(a+4)b+2a^2+8a+8=0$$
Phương trình có nghiệm đối với $b$ khi và chỉ khi:
$${\Delta }_b^{\prime }=(a+4{)}^2-2(2a^2+8a+8)=-3a^2-8a\ge 0\iff -\frac{8}{3}\le a\le 0$$
Ta có:
$$A{M}^2=a^2+(b+4{)}^2+(c+4{)}^2=a^2+b^2+c^2+8b+8c+32=8+8(b+c)+32=40+8(a+4)=8a+72$$
Vì $a\le 0$ nên $A{M}^2\le 72$. Dấu "=" xảy ra khi $a=0$.
Khi đó hoành độ của điểm $M$ là $x_M=a+2=0+2=2$.
Chọn đáp án B.