Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha ):x+y-2z-2=0$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x}{2}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-2}{1}$. Đường thẳng ${\Delta }^{\prime }$ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng $\Delta$ trên mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình là

Mặt phẳng $(\alpha )$ có VTPT ${\vec{n}}_{\alpha }=(1;1;-2)$. Đường thẳng $\Delta$ có VTCP ${\vec{u}}_{\Delta }=(2;-2;1)$.
Mặt phẳng $(P)$ chứa $\Delta$ và vuông góc với $(\alpha )$ có VTPT là:
${\vec{n}}_P=[{\vec{n}}_{\alpha },{\vec{u}}_{\Delta }]=(1(1)-(-2)(-2);-2(2)-1(1);1(-2)-1(2))=(-3;-5;-4)=-(3;5;4)$.
Vectơ chỉ phương của hình chiếu ${\Delta }^{\prime }=(P)\cap (\alpha )$ là:
${\vec{u}}_{{\Delta }^{\prime }}=[{\vec{n}}_P,{\vec{n}}_{\alpha }]=((-5)(-2)-(-4)(1);(-4)(1)-(-3)(-2);(-3)(1)-(-5)(1))=(14;-10;2)=2(7;-5;1)$.
Tìm giao điểm $M={\Delta }^{\prime }\cap \dots$: Lấy điểm $M(-1;1;-1)$ thuộc $(\alpha )$ vì $-1+1-2(-1)-2=0$, đồng thời thuộc $(P)$ vì $3(-1)+5(1)+4(-1)+2=0$.
Vậy phương trình đường thẳng ${\Delta }^{\prime }$ là:
$\frac{x+1}{7}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z+1}{1}$.