Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng $9$, khối chóp có thể tích lớn nhất bằng

Chọn C.
Gọi $S.ABCD$ là khối chóp tứ giác đều, $H$ là tâm đáy $ABCD$, $SH=h$ là chiều cao khối chóp ($0<h<18$).
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp $R=9$. Gọi $A^{\prime }$ là đỉnh đối diện của $S$ trên đường kính mặt cầu, ta có:
$$A{H}^2=SH\cdot H{A}^{\prime }=h(2R-h)=h(18-h).$$
Đáy $ABCD$ là hình vuông có $AC=2AH$, diện tích đáy là:
$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}A{C}^2=2A{H}^2=2h(18-h).$$
Thể tích khối chóp là:
$$V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot h=\frac{2}{3}{h}^2(18-h).$$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương $\frac{h}{2},\frac{h}{2},18-h$:
$$\frac{h}{2}\cdot \frac{h}{2}\cdot (18-h)\le {\left(\frac{\frac{h}{2}+\frac{h}{2}+18-h}{3}\right)}^3=6^3=216.$$
Suy ra: $h^2(18-h)\le 4\cdot 216=864$.
Vậy thể tích lớn nhất là: $V_{\max }=\frac{2}{3}\cdot 864=576$ (đạt được khi $\frac{h}{2}=18-h\iff h=12$).