Xét các số thực với $a\ne 0,b>0$ sao cho phương trình $a{x}^3-x^2+b=0$ có ít nhất hai nghiệm thực. Giá trị lớn nhất của biểu thức $a^{2}b$ bằng

Phương trình tương đương $b=x^2-a{x}^3$. Đặt $g(x)=x^2-a{x}^3$, ta có $g^{\prime }(x)=2x-3a{x}^2=x(2-3ax)$. Để phương trình có ít nhất hai nghiệm thì giá trị cực đại của $g(x)$ phải lớn hơn hoặc bằng $b$. Tại $x=\frac{2}{3a}$, ta có $g\left(\frac{2}{3a}\right)=\frac{4}{9a^2}-a\left(\frac{8}{27a^3}\right)=\frac{4}{27a^2}$. Do đó $b\le \frac{4}{27a^2}\iff a^{2}b\le \frac{4}{27}$. Vậy chọn C.