Đề Chọn Đội Tuyển HSG Cấp Trường Lần 1 - 2026-2027 - Môn Toán - Khối 11

(3,0 điểm) Cho hàm số bậc hai là $f(x)=2x^2-3x-1$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $f(5\sin 2x-3m)=1$ có đúng 5 nghiệm phân biệt trên đoạn $\left[\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{2}\right]$.

(3,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên cạnh $BC$; $D$ là điểm đối xứng của $B$ qua $H$; $K$ là hình chiếu vuông góc của $C$ trên đường thẳng $AD$. Giả sử $H(-5;-5)$, $K(9;-3)$ và trung điểm của cạnh $AC$ thuộc đường thẳng $x-y+10=0$. Tìm tọa độ điểm $A$.

(2,0 điểm) Gieo ngẫu nhiên 1 con xúc sắc 5 lần. Có bao nhiêu cách giao để tổng 5 số trên mặt xúc sắc xuất hiện ở 5 lần gieo bằng 14.

(3,0 điểm) An chơi trò chơi Minesweeper (dò mìn), một trò chơi logic cổ điển, mục tiêu là mở toàn bộ các ô không chứa mìn trên một "bãi mìn" có 27 quả mìn ẩn dưới 27 ô vuông trong bảng $9\times 9$ ô vuông như hình bên. Nếu mở ô chứa mìn thì An thua cuộc, nếu mở ô không chứa mìn thì trong ô này sẽ hiện số tự nhiên $n$ với $1\le n\le 8$ nhằm cảnh báo cho An rằng, trong số 8 ô kề quanh ô này có $n$ ô chứa mìn. Hai ô đầu tiên An mở là ô ngay phía trên và ô ngay phía dưới ô trong tâm, hai số "cảnh báo" mà hai ô này đưa ra lần lượt là 4 và 2.



Nếu ô tiếp theo An mở là ô trung tâm thì xác suất An thua cuộc ngay sau khi mở ô trung tâm là bao nhiêu (không làm tròn các kết quả trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?
Chú ý: Hai ô vuông đơn vị được gọi là kề nhau nếu chúng chung cạnh hoặc chung đỉnh.

(3,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân với $AD\parallel BC$, $AB=BC=a$, $AD=2a$. Tam giác $SAD$ vuông cân tại $S$ và $SB=a\sqrt{3}$.
1. Gọi $M$ là trung điểm của $SA$, chứng minh rằng $BM\parallel (SCD)$.
2. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng $BM$ và $CD$.
3. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $SCD$, $H$ là giao điểm của đường thẳng $BG$ và mặt phẳng $(SAC)$. Tính tỉ số $\frac{HB}{HG}$.

(3,0 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ thoả mãn $$\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=\frac{2u_n}{u_n+4},n\ge 1\end{array}$$ Tìm số hạng tổng quát của $(u_n)$.

(3,0 điểm) Giải phương trình $2{\sin }^{3}x-\sin 2x\cdot \sin x=-2\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{2026\pi }{4}\right)$.