Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $u_1=\alpha >0$ và $u_{n+1}=u_n+\frac{n}{u_n}$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

a) Chứng minh rằng $u_n\ge n$ với mọi $n\ge 2$.

b) Chứng minh rằng dãy số $\left(\frac{u_n}{n}\right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$f(xy+f(x))+f(y)=xf(y)+f(x+y)\text{ với mọi }x,y\in \mathbb{R}.$$

Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$, với $O$ là tâm. Các đường trung trực của các đoạn $AB$, $AC$ cắt đường phân giác trong của góc $\widehat{BAC}$ theo thứ tự tại $M$, $N$. Gọi $P$ là giao điểm của đường thẳng $BM$ với $CN$. $H$ là trực tâm của tam giác $OMN$ và $I$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $PMN$.

a) Chứng minh rằng $MHNI$ là hình thoi.

b) Tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$, $C$ cắt nhau tại $S$. Chứng minh rằng $S$, $A$, $I$ thẳng hàng.

Một trường hè toán học gồm $3n$ (với $n\ge 2,n\in \mathbb{N}$) học sinh tham gia, trong đó hai học sinh quen nhau bất kỳ có đúng $n$ học sinh quen chung và hai học sinh không quen nhau bất kỳ có đúng $2n$ học sinh quen chung. Nếu ba học sinh đôi một quen nhau thì ta gọi là một nhóm "Bạn bè".

a) Xác định số lượng các nhóm "Bạn bè".

b) Chứng minh rằng: có thể chia $3n$ học sinh trường hè toán học trên thành ba tổ, mỗi tổ có $n$ học sinh sao cho khi lấy ngẫu nhiên mỗi tổ một học sinh thì ba học sinh này tạo thành một nhóm "Bạn bè".