Đề Chọn Đội Tuyển HSG Quốc Gia 2026-2027 - Sở GD&ĐT Tỉnh Lào Cai - Môn Toán - Ngày 1 (15/9/2026)

Giả sử $a,b,c$ là ba trong bốn nghiệm của đa thức
$$f(x)=x^4-4x^3+2x^2+4x-2.$$
a) Chứng minh rằng $abc$ là nghiệm của đa thức $g(x)=x^4+4x^3-4x^2-16x-8$.
b) Chứng minh rằng $ab$ là nghiệm của đa thức
$$h(x)=x^6-2x^5-14x^4+8x^3+28x^2-8x-8.$$

Cho tam giác $ABC$ $(AB<AC)$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC$, $CA$, $AB$ lần lượt tại $D$, $E$, $F$. Gọi $H$ là giao điểm của $AI$ và $BC$; $K$, $L$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $IB$ và $IC$. Qua $D$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AI$ cắt $IB$, $IC$ lần lượt tại $X$ và $Y$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $DE$, $DF$ và $EF$.



a) Chứng minh rằng $KL\parallel BC$ và bốn điểm $K$, $L$, $X$, $Y$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi $O_1$, $O_2$ lần lượt là tâm của hai đường tròn $(MKL)$ và $(DIP)$. Chứng minh rằng giao điểm của $(MKL)$ và $(DIP)$ thuộc đường tròn đường kính $O_1{O}_2$.

Với mỗi số nguyên dương $n$, ta gọi một hoán vị $(a_0,a_1,\dots ,a_{n-1})$ của các số $0$, $1$, $\dots$, $n-1$ là tốt nếu $a_i+i$ là số chính phương với mọi $i=0,1,\dots ,n-1$.
a) Chứng minh rằng với $n=2026$, trong một hoán vị tốt $(a_0,a_1,\dots ,a_{2025})$, luôn tồn tại ít nhất một chỉ số $i$ sao cho $a_i+i$ chia hết cho 9.
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, luôn tồn tại ít nhất một hoán vị tốt.