Đề Chọn ĐTQG TP Hồ Chí Minh 2026 - Ngày 2 (Lim Olympic - TPHCM TST)

Một đa thức $P(x)$ hệ số thực được gọi là đa thức tốt nếu với mọi số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=3$ thì ta đều có:
$$P(x)+P(y)+P(z)\ge 3P(1).$$
(1) Tìm tất cả các đa thức tốt $P(x)$ có bậc không vượt quá 2.
(2) Gọi bậc của đa thức tốt $P(x)$ là $n$. Chứng minh rằng nếu $n>2$ thì $n$ là số chẵn.

Gọi $S$ là tập các hàm $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn $f$ không hằng, $f(2)\ne 1$ và
$$f(xf(y)-x+y)+f(xy)=f(2026x)+f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}.$$
(1) Với $f\in S$, gọi $A=\{a\in \mathbb{R}\mid f(a)=1\}$. Chứng minh rằng $0\notin A$ và $2026\in A$.
(2) Chứng minh rằng $A=\{2026\}$.
(3) Tìm $S$.

Cho tam giác nhọn $ABC$ không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$, với $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ và $D,T$ lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ và cung lớn $BC$ của $(O)$. Đường thẳng $d$ đi qua $I$ và song song với $BC$ cắt các đường thẳng $AB,AC,DB,DC$ theo thứ tự tại $E,F,K,L$, và cắt đường tròn $(O)$ tại $R,S$, trong đó $R$ nằm cùng phía với $B$ đối với $AO$. Kẻ các tiếp tuyến $DM,DN$ đến đường tròn ngoại tiếp tam giác $BKE$, với $M,N$ thuộc đường tròn này; kẻ các tiếp tuyến $DP,DQ$ đến đường tròn ngoại tiếp tam giác $CLF$, với $P,Q$ thuộc đường tròn này.
(1) Chứng minh rằng $M,N,P,Q,R,S$ đồng viên.
(2) Gọi $J=MN\cap PQ$. Chứng minh rằng $A,J,T$ thẳng hàng.

Có một vùng biển gồm 300 hòn đảo. Người ta xây dựng $m$ cây cầu; mỗi cây cầu nối trực tiếp hai hòn đảo với nhau, và giữa hai hòn đảo có không quá một cây cầu.
(1) Tìm số lượng cây cầu $m$ lớn nhất có thể xây dựng, biết rằng tồn tại ít nhất một tuyến du lịch khép kín đi qua tất cả các cây cầu, mỗi cây cầu đúng một lần; một hòn đảo có thể được đi qua nhiều lần.
(2) Các hòn đảo được phân cho 5 vương quốc khác nhau quản lí, mỗi hòn đảo do đúng một vương quốc quản lí. Hệ thống cầu có tính chất: mọi tuyến du lịch khép kín đều phải đi qua các hòn đảo thuộc đủ cả 5 vương quốc. Hỏi tổng số cây cầu có thể vượt quá 398 hay không?