Đề Khảo Sát Chất Lượng Đội Tuyển HSG Toán 12 2025-2026 THPT Yên Định 2

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình dưới?
[Hình cần kiểm tra lại: p1_f1]

Cho hai vecto $\vec{a},\vec{b}$ thỏa mãn: $|\vec{a}|=26;|\vec{b}|=28;|\vec{a}+\vec{b}|=48$. Độ dài vecto $\vec{a}-\vec{b}$ bằng?

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(3;2;-1),B(-1;-x;1),C(7;-1;y)$. Khi $A,B,C$ thẳng hàng, giá trị $x+2y$ bằng

Thống kê chiều cao của 40 học sinh lớp 12 của một trường THPT, ta có bảng số liệu sau:

Cỡ của mẫu số liệu là

Tìm tổng các nghiệm của phương trình $\cos \left(5x-\frac{\pi }{6}\right)=\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ trên $[0;\pi ]$.

Biết $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{4x^2-3x+1}-(ax+b)\right)=0$. Giá trị $a-4b$ bằng

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc $[-10;10]$ để đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{m{x}^2-4}}{x-1}$ có ba đường tiệm cận?

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có tâm $O$. Gọi $I$ là tâm hình bình hành $ABCD$. Đặt $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\vec{u}$, $\overrightarrow{C{A}^{\prime }}=\vec{v}$, $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=\vec{x}$, $\overrightarrow{D{B}^{\prime }}=\vec{y}$. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $A(4;1;5),B(3;2;1),C(-3;4;2)$. Điểm $M(a;b;0)$ sao cho $S=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}$ nhỏ nhất. Giá trị $3a+b$ bằng:

Cho bảng số liệu khảo sát về tuổi thọ (đơn vị: nghìn giờ) của một loại bóng đèn:

Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên?

Cho hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{6-2(m+1){\cos }^{2}x+m(\sin x-\cos x{)}^2}}$. Tập hợp tất cả các giá trị của $m$ để hàm số đã cho xác định trên $\mathbb{R}$ là $m\in (a;b)$. Tính $a^2-b^2$.

Biết trên đồ thị của ba hàm số $y={\log }_{a}x$, $y=2{\log }_{a}x$, $y=3{\log }_{a}x$ (với $a>1$) lần lượt có 3 điểm $A$, $B$, $C$ sao cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$, $AB$ song song với trục hoành và có diện tích bằng 18. Giá trị của $a$ bằng
[Hình cần kiểm tra lại: p2_f1]

Bạn An thả quả bóng cao su từ độ cao 10m theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng $\frac{3}{4}$ độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn.

Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh có tên gọi khác nhau, gồm 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ thành một hàng ngang (trong đó có một học sinh nam tên Dũng và một học sinh nữ tên Lan). Xác suất để giữa hai học sinh nữ liên tiếp có đúng hai học sinh nam và Dũng luôn đứng cạnh Lan bằng

Cho hàm số $y=\frac{x^2-4x+m+2+3\sqrt{x^2-4x}}{\sqrt{x^2-4x+2}}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $(-4;-1)$?

Treo một vật nặng có trọng lượng $60N$ bởi ba sợi dây giống hết nhau, các sợi dây có độ dài bằng nhau và đôi một tạo với nhau một góc $90^{\circ }$ như hình bên. Gọi $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ lần lượt là các lực căng của ba sợi dây nói trên. Độ lớn của lực $\overrightarrow{F_1}$ bằng bao nhiêu Niuton? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $A(2;3;-1)$, $B(2;3;2)$, $C(-1;0;2)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxz)$ để $S=\left|\overrightarrow{MA}-4\overrightarrow{MC}\right|+\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ nhỏ nhất.

Có bao nhiêu cặp số $(x;y)$ nguyên dương thỏa mãn $2^{(x-1)(x+1)}\ln \left[(x+1{)}^2+1\right]=2^{y-x-3}\ln \sqrt{x+y-1}$ và $x,y\le 2025$?

Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a$. Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SCD)$ bằng $\phi$, với $\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{3}}$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

Từ 1 hộp đựng 100 thẻ đánh số thứ tự từ 1 đến 100 lấy ngẫu nhiên 3 thẻ. Xác suất của biến cố A: “Số ghi trên 3 thẻ là số đo 3 cạnh của một tam giác” là:

Luật bình phương nghịch đảo phát biểu rằng: Mỗi sự gia tăng khoảng cách từ nguồn cho ra kết quả giảm mức độ âm thanh theo tỷ lệ nghịch với bình phương của sự gia tăng khoảng cách. Sử dụng luật bình phương nghịch đảo, hãy giải quyết bài toán sau: ông Bảo có một mảnh đất lớn có chiều dài mặt tiền là $L$ (mét) ở giữa 2 hai quán karaoke thường phát ra âm thanh có cường độ lần lượt là $I_1$ và $I_2$. Ông Bảo định xây một ngôi nhà nhỏ trên mảnh đất đó nhưng muốn tìm vị trí sao cho chịu ảnh hưởng của âm thanh từ 2 quán karaoke là ít nhất.

Công ty bảo hiểm Sunlife có 20000 người đăng kí bảo hiểm. Những người đăng ký được phân theo 3 loại tiêu chuẩn như sau:
Tiêu chuẩn 1. Trẻ hay già;
Tiêu chuẩn 2. Đàn ông hay phụ nữ;
Tiêu chuẩn 3. Đã lập gia đình hay độc thân.
Biết rằng, trong 20000 người đó có 6300 người trẻ, 9600 đàn ông, 13800 người đã lập gia đình, 2700 đàn ông trẻ, 6400 đàn ông đã lập gia đình, 2900 người trẻ đã lập gia đình, và 1100 đàn ông trẻ đã lập gia đình.

Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng $ABFPE.DCGQH$ với $ABFE$ là hình chữ nhật và $EFP$ là tam giác cân tại $P$. Gọi $T$ là trung điểm của $DC$. Các kích thước của kho chứa lần lượt là $AB=6m$, $AE=5m$; $AD=8m$; $QT=7m$. Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là điểm $O$ thuộc đoạn $AD$ sao cho $OA=2m$ và các trục toạ độ tương ứng như hình vẽ dưới đây. Khi đó:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, $AB=4a$ và $\widehat{BAD}=120^{\circ }$. Gọi $H$ là trung điểm của $AO$. Biết $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SH=a\sqrt{3}$.

Một khu du lịch sinh thái đang khai thác dịch vụ chèo thuyền và ngắm cảnh ven hồ. Hồ nước có dạng hình tròn tâm $O$, bán kính bằng $1km$ và tại hai vị trí $A,B$ đối xứng nhau qua $O$ người ta xây dựng nơi bán vé vào và nơi kết thúc tham quan. Du khách sẽ được sử dụng dịch vụ chèo thuyền từ vị trí $A$ đến vị trí $C$ trên bờ hồ và sẽ có xe chở ngắm cảnh từ vị trí $C$ men theo bờ hồ đến nơi kết thúc $B$. Biết rằng vận tốc chèo thuyền là $100m$ mỗi phút và vận tốc xe chạy ngắm cảnh là $200m$ mỗi phút. Gọi $x$ (radian) là số đo góc $\widehat{CAB}\left(0\le x<\frac{\pi }{2}\right)$.
[Hình cần kiểm tra lại: p5_f1]

Kết quả khảo sát cân nặng của một số quả táo ở một lô hàng cho ở bảng sau:

Một máy bay trình diễn có đường bay gắn với hệ trục $Oxy$ được mô phỏng như hình vẽ, trục $Ox$ gắn với mặt đất. Đường bay có dạng là một phần của đồ thị của hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất $y=f\left(x\right)$ có đường tiệm cận đứng $x=2$. Điểm $G$ là giao điểm của đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ và trục $Ox$ được gọi là điểm giới hạn. Biết rằng máy bay xuất phát tại vị trí $A$ cách gốc tọa độ $O$ một khoảng 2,5 đơn vị và máy bay khi ở vị trí cao nhất cách điểm xuất phát 1,5 đơn vị theo phương song song với trục $Ox$ và cách mặt đất 4,5 đơn vị. Vị trí máy bay tiếp đất cách điểm giới hạn một khoảng bằng bao nhiêu đơn vị? (Làm tròn đến hàng phần chục)
[Hình cần kiểm tra lại: p6_f1]

Chi phí về nhiên liệu của một con tàu được chia làm hai phần. Phần chi phí thứ nhất không phụ thuộc vào tốc độ tàu và bằng 480 nghìn đồng mỗi giờ. Chi phí phần thứ hai trên 1 km đường tỉ lệ thuận với lập phương của tốc độ tàu (tốc độ tàu tính theo km/h), khi tốc độ bằng 20 km/h thì chi phí phần thứ hai bằng 100 nghìn đồng mỗi giờ. Giả sử con tàu đó luôn giữ nguyên tốc độ di chuyển, để tổng chi phí nhiên liệu trên 1km đường là nhỏ nhất thì tốc độ của con tàu đó bằng bao nhiêu km/h? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Người ta thường dùng cấu trúc tháp (như hình dưới) để vận chuyển vật liệu xây dựng; thân tháp vuông góc với mặt đất, cần nâng vuông góc thân tháp dùng để làm điểm tựa nâng vật liệu, trên cần nâng có bộ phận gọi là xe con, có thể chạy dọc cần nâng nhằm di chuyển vật liệu. Ban đầu vật liệu ở mặt đất, cầu trục dùng móc cầu nâng vật liệu lên cao theo phương thẳng đứng và cao hơn 1 m so với vị trí cần đặt, sau đó giữ nguyên độ cao và cầu trục quay cần nâng một góc $\alpha \in \left(0^0;180^0\right)$ sao cho quỹ đạo tạo thành một cung tròn cho đến khi mặt phẳng $(P)$ chứa cần nâng và điểm cần đặt vuông góc với mặt đất (vật liệu và điểm cần đặt cùng nằm trên một nửa mặt phẳng $(P)$ so với thân tháp). Tiếp đến điều chỉnh xe con nhằm di chuyển và hạ vật liệu xuống 1 m theo phương thẳng đứng đúng vị trí cần đặt. Giả sử rằng trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, thân tháp là trục $Oz$ và mặt đất là mặt phẳng $Oxy$ (đơn vị tính bằng mét); vị trí ban đầu của vật liệu là điểm $A(6;8;0)$ và vị trí cần đặt vật liệu là điểm $B(4;-3;15)$. Tính quãng đường vật liệu đã di chuyển (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Kí hiệu $S$ là tập tất cả số nguyên $m$ sao cho phương trình $3^{x^2+mx+1}=(3+mx)\cdot 3^{9x}$ có nghiệm thuộc khoảng $(1;9)$. Tập $S$ có bao nhiêu phần tử?

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB=AC=a$, $\widehat{SBA}=\widehat{SCA}=90^{\circ }$ và khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(SAC)$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Tính $\cos [A,SB,C]$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Chọn ngẫu nhiên 3 số $a,b,c$ trong tập hợp $S=\{1;2;...;26\}$. Biết xác suất để 3 số chọn ra thỏa mãn $a^2+b^2+c^2$ chia hết cho 5 bằng $\frac{m}{n}$ với $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức $T=m+n$.