Đề Khảo Sát Chất Lượng đội tuyển HSG Toán 12 Lần 2 2026-2027 Cụm THPT Hoằng Hóa - Thanh Hóa (Mã Đề 1001)

Câu 1. Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x^2+ax+b}{x-2}$ (với $a,b\in \mathbb{R}$) có $f(0)=1$. Đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ.



Biết ${\max }_{[-4;-3]}f(x)=\frac{m}{n}$ (với $m,n\in \mathbb{Z},n>0$; $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản). Giá trị của $m+2n$ bằng

Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, cho hai véc tơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ có $|\vec{u}|=2\sqrt{5},|\vec{v}|=\sqrt{5},|\vec{u}-2\vec{v}|=2\sqrt{5}$. Tìm số đo góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $(\vec{u}-\vec{v})$.

Câu 3. Trên đoạn $\left[-2\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$, đồ thị hàm số $y=\sin x$ và $y=\cos x$ cắt nhau tại bao nhiêu điểm?

Câu 4. Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ với $a,b,c,d$ là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 5. Có bao nhiêu giá trị của tham số thực $a$ để hàm số $y=\frac{\cos x+a\sin x+1}{\cos x+2}$ có giá trị lớn nhất bằng $1$.

Câu 6. Gọi $B$ và $C$ lần lượt là các điểm thuộc đồ thị hàm số $y=2^x$ và $y={\log }_{2}x$ sao cho tam giác $OBC$ đều. Giả sử điểm $B$ có hoành độ là $a$ khi đó tỉ số $\frac{2^a}{a}$ bằng:

Câu 7. Cho hàm số đa thức $y=f(x)$ với $y=f^{\prime }(x)$ là hàm số bậc ba có hai cực trị $-1;1$ và $f^{\prime }(-2)=2f^{\prime }(0)$, $f^{\prime \prime }(2)=-9$. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên $m\in (-10;10)$ để hàm số $g(x)=f(2x-3)-\ln (1+x^2)-2mx$ đồng biến trên $\left(\frac{1}{2};2\right)$?

Câu 8. Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, $M$ là trung điểm của $B{B}^{\prime }$. Đặt $\overrightarrow{CA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{CB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{c}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 9. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, biết $AB=SA=a$; $SA\perp (ABCD)$. Điểm $M$ trên cạnh $BD$, điểm $N$ trên cạnh $SC$ thỏa mãn $\frac{BM}{BD}=\frac{SN}{SC}$ và độ dài đoạn thẳng $MN$ nhỏ nhất. Khi đó, nếu $\overrightarrow{MN}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AD}+p\overrightarrow{AS}$ thì $T=m+n+2p$ bằng

Câu 10. Trong không gian $Oxyz$, cho $\overrightarrow{AO}=\vec{i}-2\vec{j}+3\vec{k}$, điểm $B(3;-4;1)$, $C(2;0;-1)$ và điểm $D(a;b;c)$ sao cho $B$ là trọng tâm tam giác $ACD$. Khi đó $P=a+b+c$ bằng

Câu 11. Trong không gian $Oxyz$, véctơ $\vec{u}$ vuông góc với hai véctơ $\vec{a}=(1;1;1)$ và $\vec{b}=(1;-1;3)$; độ dài véctơ $\vec{u}$ bằng $3$. Tìm tọa độ véctơ $\vec{u}$ biết véctơ $\vec{u}$ có hoành độ dương.

Câu 12. Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(2t;2t;0)$, $B(0;0;t)$ với $t>0$. Cho điểm $P$ di động thỏa mãn $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{AP}+\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{BP}+\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BP}=3$. Biết rằng có giá trị $t=\frac{a}{b}$ với $a,b$ nguyên dương và $\frac{a}{b}$ tối giản sao cho $OP$ đạt giá trị lớn nhất là $3$. Tính giá trị $Q=2a+b$?

Câu 13. Thời gian truy cập internet mỗi buổi tối của một số học sinh được cho trong bảng sau:



Mốt của mẫu số liệu trên là

Câu 14. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{2}$. Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SB,SD$. Số đo của góc tạo bởi mặt phẳng $(AHK)$ và $(ABCD)$ bằng

Câu 15. Cho $f(1)=1$ và $f(m+n)=f(m)+f(n)+mn$, với mọi $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Giá trị biểu thức $T=\log \left|\frac{f(96)-f(69)-241}{2}\right|$ bằng

Câu 16. Cho cấp số cộng có tổng của $n$ số hạng đầu tiên được tính bởi công thức $S_n=4n-n^2$. Gọi $M$ là tổng của số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng. Khi đó:

Câu 17. Một nhóm gồm $5$ bạn nam, $4$ bạn nữ và thầy giáo đứng thành $2$ hàng, mỗi hàng $5$ người để chụp ảnh kỉ niệm. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng để khi đứng, thầy giáo xen giữa hai bạn nam đồng thời các bạn nữ không đứng cạnh nhau trong cùng một hàng bằng

Câu 18. Cho $f(x)$ là đa thức thỏa mãn ${\lim }_{x\to 3}\frac{f(x)-27}{x-3}=9$. Tính giới hạn $L={\lim }_{x\to 3}\left[2f(x)-19x+3\right]\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x^2-3x}\right)$.

Câu 19. Biểu đồ dưới đây biểu diễn số lượng khách hàng đặt bàn qua hình thức trực tuyến mỗi ngày trong quý III năm 2026 của một nhà hàng.



Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi biểu đồ trên bằng:

Câu 20. Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên có $7$ chữ số được lập từ tập $A=\{1;2;3;4;5;6\}$. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập $S$. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho $6$ và có đủ tất cả các chữ số của tập $A$.

Câu 1. Ông An có một mảnh đất hình vuông $ABCD$ có cạnh $AB=12\text{ m}$. Ông làm một hồ bơi dạng hình thang cong (phần tô đậm) và một lối đi là đoạn thẳng $HB$. Nếu đặt hệ trục toạ độ có gốc tại $A$ như hình vẽ, độ dài đơn vị là $1\text{ m}$, thì đường cong $EFIG$ là một phần đồ thị của một hàm số bậc ba $y=f(x)$ có $F$ là điểm cực tiểu và $I$ là điểm cực đại. Biết $CH=DE=GB=3\text{ m}$ và các điểm $F,I$ cách cạnh $AD$ lần lượt là $2\text{ m}$ và $6\text{ m}$.

Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(3;-1;4)$, $B(-2;3;3)$. Các điểm $M,N$ thay đổi sao cho $M$ luôn thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ và $\overrightarrow{MN}=(-2;-2;1)$.

Câu 3. Giá đóng cửa của một cổ phiếu là giá của cổ phiếu đó cuối một phiên giao dịch. Bảng sau thống kê giá đóng cửa (đơn vị: nghìn đồng) của hai mã cổ phiếu (A) và (B) trong $50$ ngày giao dịch liên tiếp:

Câu 4. Cho hàm số $f(x)={\log }_5(x+2)$.

Câu 5. Cho hai đường thẳng $d_1,d_2$ song song với nhau. Trên $d_1$ lấy $7$ điểm phân biệt $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6,A_7$ sao cho $A_1{A}_2=A_2{A}_3=A_3{A}_4=A_4{A}_5=A_5{A}_6=A_6{A}_7=1\text{ cm}$, trên $d_2$ lấy $6$ điểm $B_1,B_2,B_3,B_4,B_5,B_6$ sao cho $B_1{B}_2=B_2{B}_3=B_3{B}_4=B_4{B}_5=B_5{B}_6=1\text{ cm}$. Chọn ngẫu nhiên $3$ điểm từ các điểm trên. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Câu 6. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A_1{B}_1{C}_1$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $AB=AC=a$ và cạnh bên $A{A}_1=a\sqrt{2}$.

Câu 1. Lát cắt của một vùng đất được mô hình hóa bởi hàm bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ dưới (đơn vị trên các trục là km). Biết khoảng cách $OM=2\text{ km}$; độ rộng của núi $MN=3,5\text{ km}$. Độ sâu của hồ nước là $450\text{ m}$. Chiều cao của ngọn núi là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 2. Bạn Hoa thường đi bơi ở hồ Sky Garden cạnh nhà, hồ bơi có thiết kế là một hình chữ nhật với chiều dài $25\text{ m}$, chiều rộng $15,5\text{ m}$ và bên cạnh đó là một hình bán nguyệt đường kính $10\text{ m}$. Trong một lần bể bơi vắng người nên Hoa đã thực hiện một chu trình là bơi theo đoạn thẳng $AC$ rồi bơi tiếp đoạn thẳng $CM$, với $M$ là một vị trí bất kỳ trên hình bán nguyệt. Ngay sau đó bạn đi bộ theo một hướng qua điểm $D$ dọc bờ của hồ bơi để quay lại vị trí $A$ và kết thúc chu trình (tham khảo hình vẽ).



Biết rằng vận tốc bơi của Hoa là $2,4\text{ km/h}$, vận tốc đi bộ là $4,8\text{ km/h}$ và tốc độ bơi, vận tốc đi bộ không thay đổi trong một chu trình. Hỏi thời gian chậm nhất để Hoa thực hiện xong chu trình trên là bao nhiêu phút? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 3. Khi khắc phục hậu quả của thiên tai, bão lũ, một trong những giải pháp nhằm tiếp tế hàng cứu trợ đến những nơi khó tiếp cận là sử dụng flycam để xác định vị trí chính xác của người cần cứu trợ, sau đó sử dụng drone để vận chuyển các vật dụng thiết yếu thả xuống cho người này, giúp họ có thể cầm cự trong khi chờ đợi lực lượng cứu hộ đến nơi. Hai chiếc drone làm nhiệm vụ chuyển hàng cứu trợ bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất bay đến điểm cách điểm xuất phát $2,5\text{ km}$ về phía nam và $1,5\text{ km}$ về phía đông, đồng thời cách mặt đất $60\text{ m}$. Chiếc thứ hai bay đến điểm cách điểm xuất phát $3\text{ km}$ về phía bắc và $2,5\text{ km}$ về phía tây, đồng thời cách mặt đất $40\text{ m}$. Trong không gian, xét hệ tọa độ $Oxyz$ với gốc tọa độ $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc drone, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng). Giả sử trong trường hợp khẩn cấp cần tìm một vị trí trên mặt đất để tiếp nhiên liệu và các vật dụng cứu trợ cho hai drone sao cho tổng khoảng cách từ vị trí tiếp nhiên liệu tới hai drone nhỏ nhất. Vị trí cần tìm cách gốc tọa độ $a\text{ km}$ theo hướng bắc và $b\text{ km}$ theo hướng tây. Khi đó $a+b$ bằng bao nhiêu?

Câu 4. Có $25$ quả cầu gồm $2$ loại đen và trắng được đặt vào hai thùng, thùng nào có quả cầu nhiều hơn thì số quả trắng cũng nhiều hơn. Lấy ngẫu nhiên mỗi thùng một quả, tính xác suất để được một quả đen và một quả trắng biết xác suất lấy được $2$ quả trắng là $0,48$.

Câu 5. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(a;b)$ thỏa mãn: $10(a^2+b^2-ab)-{\left[{\log }_3(a+b-1)\right]}^2\ge a^3+b^3-4$?

Câu 6. Có một mô hình kim tự tháp là một khối chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng $6\text{ cm}$, cạnh đáy bằng $4\text{ cm}$ được đặt lên bàn trưng bày (đáy nằm trên mặt bàn). Một con kiến đang ở một đỉnh của đáy và có ý định đi một vòng qua tất cả các mặt xung quanh và trở về vị trí ban đầu. Tính quãng đường ngắn nhất mà con kiến có thể đi được (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).