Đề Khảo Sát HSG Toán 12 Cụm Liên Trường THPT Bắc Ninh 2026-2027 - Lần 1

Câu 1. Kết quả của tích phân ${\int }_0^{2026}{2}^{x}dx$ là

Câu 2. Cho một đa giác đều $60$ đỉnh nội tiếp một đường tròn. Chọn ngẫu nhiên $5$ điểm để tạo thành một ngũ giác. Số cách chọn ra một ngũ giác có đúng $2$ cạnh trùng với cạnh của đa giác là bao nhiêu?

Câu 3. Biết ${\lim }_{x\to 2}\left(\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x^3-8}\right)=\frac{1}{2}$ ($a,b\in \mathbb{R}$). Tính $2a+b$.

Câu 4. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $B$, đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Đường thẳng $AD$ cắt và vuông góc với đường thẳng $SB$ tại $D$. Mệnh đề nào dưới đây sai?

Câu 5. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$?

Câu 6. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $A^{\prime }(\sqrt{3};-1;1)$; hai đỉnh $B,C$ thuộc trục $Oz$ và $A{A}^{\prime }=1$ ($C$ không trùng với $O$). Biết vectơ $\vec{u}=(a;b;2)$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{A^{\prime }C}$. Tính $T=a^2-b^2$.

Câu 7. Một dãy phố có $5$ cửa hàng bán quần áo. Có $5$ người khách đến mua quần áo, mỗi người khách vào ngẫu nhiên một trong $5$ cửa hàng đó. Xác suất để có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn $2$ người khách vào bằng

Câu 8. Cho dãy $(u_n)$ là cấp số cộng với số hạng đầu $u_1=\frac{\pi }{6}$, công sai $d=\frac{\pi }{3}$. Tính $S=\frac{1}{\sin u_1\cdot \sin u_2}+\frac{1}{\sin u_2\cdot \sin u_3}+\cdots +\frac{1}{\sin u_{46}\cdot \sin u_{47}}$.

Câu 9. Với $a,b$ là các số thực dương tùy ý thỏa mãn ${\log }_{2}a-2{\log }_{4}b=4$, mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 10. Một hợp tác xã cần vận chuyển $3600\text{ kg}$ sầu riêng trong $1$ mùa vụ. Hợp tác xã chia thành nhiều chuyến, mỗi chuyến chở $x\text{ kg}$ ($1\le x\le 3600,x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$), và giả sử $x$ là ước của $3600$ để chia đều số chuyến. Chi phí cho mỗi chuyến gồm: Phí xe cố định: $50$ nghìn đồng/chuyến; Phí bảo quản lạnh tỉ lệ theo tải: $0,005x^2$ (nghìn đồng/chuyến). Hỏi mỗi chuyến nên chở bao nhiêu kg để tổng chi phí là nhỏ nhất?

Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ với $A(1;1;1)$, $B(2;3;0)$. Xét tam giác $ABC$ có trực tâm $H(0;3;2)$ và $C(a;b;c)$; biết $3$ số $a;1;c$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Khẳng định nào đúng?

Câu 12. Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ.



Số điểm cực tiểu của hàm số $y=f(-x^2+x)$ bằng

Câu 13. Cho hàm số $y=f(x)=\frac{ax+b}{x-1}$ ($a,b\in \mathbb{R},a+b\ne 0$) có $y^{\prime }<0,\forall x\in \mathbb{R}\setminus \{1\}$. Có tất cả bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn $f(x^2-50x+1)\le f(3x^2+1)$?

Câu 14. Trong $6$ giờ cao điểm ($0\le t\le 6$), công suất phát điện của tổ máy I là $P_1(t)=-t^2+4t+12$ đơn vị là MW. Tổ máy II chạy thử nghiệm với công suất $P_2(t)=a{t}^2+bt+c$ đơn vị là MW. Biết đồ thị $P_2(t)$ là một đường parabol có đỉnh nằm trên trục hoành tại thời điểm $t=6$ (tức là vừa tắt máy vừa đạt cực tiểu tại $t=6$) và tại thời điểm bắt đầu $t=0$ hai máy có cùng công suất. Tính tỉ số tổng sản lượng điện của tổ máy I so với tổ máy II.

Câu 15. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$ và $A{A}^{\prime }=2a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A^{\prime }B$ và $MN$ bằng

Câu 16. Cho hàm số $y=\frac{x^2-3x}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Tính diện tích của tam giác tạo bởi hai đường tiệm cận của $(C)$ và tiếp tuyến với $(C)$ tại điểm có hoành độ bằng $3$.

Câu 17. Cho hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $2\text{ m}$, với $O,K$ lần lượt là trung điểm $AB,BC$. Parabol đỉnh $O$ đi qua $2$ điểm $C,D$, parabol đỉnh $K$ đi qua $2$ điểm $A,D$. Tính diện tích hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ theo đơn vị ${\text{m}}^2$.

Câu 18. Người ta thả vào ao một loại bèo có tốc độ tăng trưởng được tính theo công thức $S_t=S_0\cdot e^{rt}$. Trong đó $S_0$ là diện tích ban đầu, $S_t$ là diện tích sau $t$ ngày, $r$ là tốc độ tăng trưởng và $t$ là số ngày. Ban đầu, diện tích của bèo chiếm $\frac{1}{50}$ diện tích ao. Sau $t_1$ và $t_2$ ngày thì diện tích bèo lần lượt chiếm $\frac{1}{30}$ và $\frac{1}{10}$ diện tích ao ($t_2>t_1$). Biết $t_2-t_1=3$, hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày diện tích của bèo chiếm $1$ nửa diện tích ao (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Câu 19. Cho $△ABC$ có $AB=c$; $AC=b$; $BC=a$ và thỏa mãn $a^2=b^2+c^2+bc\sqrt{2}$. Số đo của góc $A$ là

Câu 20. Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng $3$, $\widehat{A^{\prime }AB}=120^{\circ }$, $\widehat{A^{\prime }AC}=60^{\circ }$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$; $N$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{BN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$. Tính giá trị $\overrightarrow{A^{\prime }M}\cdot \overrightarrow{C^{\prime }N}$.

Câu 1. Cho hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ ($a\ne 0$), biết đồ thị hàm số $y=\frac{x^3}{f(x)}$ có đường tiệm cận ngang $y=\frac{1}{3}$.

Câu 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành với $AB=a$, $AD=2a$, $\widehat{BAD}=120^{\circ }$. Biết tam giác $SBC$ đều và tam giác $SAB$ vuông tại $A$.

Câu 3. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Biết rằng $F(1)=-1$, $F(3)=5$.

Câu 4. Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa $18$ quả cầu trắng được đánh số từ $1$ đến $18$. Hộp thứ hai chứa $36$ quả cầu xanh được đánh số từ $1$ đến $36$ (mỗi quả cầu được đánh một số). Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên ra hai quả cầu.

Câu 5. Trong không gian $Oxyz$ cho các điểm $A(-8;0;0)$, $B(6;0;0)$, $C(13;3;-3)$, $D(8;-2;2)$.

Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, đơn vị trên các trục là centimet, một quả cầu có trọng lượng $60\text{ N}$ được đặt tại vị trí điểm $O$ và được treo vào trần nhà tại các vị trí $A,B,C,D,E$ sao cho $O.ABCDE$ là hình chóp ngũ giác đều và tâm đường tròn ngoại tiếp ngũ giác $ABCDE$ thuộc tia $Oz$; biết $A(0;40;60)$; như hình vẽ.

Câu 7. Chậu nước có chiều cao $2\text{ m}$; thiết diện qua trục cho ta hình ảnh hai parabol đối xứng nhau qua trục chậu nước, hai đỉnh parabol này cách nhau $1\text{ m}$. Hai đường tròn đáy và miệng chậu nước đều có bán kính $1\text{ m}$. Mực nước ban đầu trong chậu cao $0,2\text{ m}$. Dựng một hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho gốc tọa độ trùng với tâm của đường tròn đáy, tia $Ox$ đi qua tâm của miệng chậu nước. Gọi parabol $(P)$ là một đường sinh của chậu nước.

Câu 8. Cho hàm số $f(x)={\log }_5(4x+1)$.

Câu 1. Cho hình hộp đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $\widehat{ABC}=120^{\circ }$. Biết $A^{\prime }C=6\text{ dm}$, khi đó thể tích lớn nhất của khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng bao nhiêu ${\text{dm}}^3$?

Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, với các trục tọa độ có đơn vị đo là cm; cho vật thể $(B)$ là tập hợp tất cả các điểm $M(x;y;z)$ thỏa mãn $|x|+|y|+|z|\le 19$ và $|x-2|+|y|+|z|\le 19$. Thể tích của vật thể $(B)$ bằng bao nhiêu ${\text{cm}}^3$?

Câu 3. Một kho hàng có $6$ thùng hàng với khối lượng lần lượt là $1\text{ kg},2\text{ kg},3\text{ kg},4\text{ kg},5\text{ kg},6\text{ kg}$. Người ta xếp ngẫu nhiên $6$ thùng hàng này vào $6$ kệ hàng được đánh số thứ tự từ $1$ đến $6$ (sao cho mỗi kệ hàng xếp đúng một thùng hàng). Do sức chịu tải của các kệ hàng khác nhau, quy định xếp hàng được đặt ra như sau:
- Với mỗi kệ thứ $i$ (với $1\le i\le 5$), khối lượng của thùng hàng được xếp vào kệ đó không được vượt quá $i+1\text{ (kg)}$.
- Kệ số $6$ được gia cố đặc biệt, có thể chịu được thùng hàng với khối lượng bất kỳ.
- Để đảm bảo an toàn cho khu vực đầu dây chuyền, tổng khối lượng của thùng hàng ở kệ số $1$ và kệ số $2$ cộng lại phải nhỏ hơn $5\text{ kg}$.
Gọi $P$ là xác suất để các thùng hàng được xếp thỏa mãn tất cả các yêu cầu trên. Tính giá trị $\frac{150}{P}$.

Câu 4. Trong công trường có một khung sắt dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Dựng hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ, đơn vị dm sao cho $O\equiv C^{\prime }$, đồng thời: Tia $Ox$ trùng với tia $C^{\prime }{D}^{\prime }$; Tia $Oy$ trùng với tia $C^{\prime }{B}^{\prime }$; Tia $Oz$ trùng với tia $C^{\prime }C$. Biết $AB=10\text{ dm}$, $AD=5\text{ dm}$, $A{A}^{\prime }=5\text{ dm}$. Một con kiến đi thẳng đều từ $B$ đến $C^{\prime }$ với tốc độ $1\text{ dm/s}$; đồng thời một con bọ đi thẳng đều từ $D$ đến $B^{\prime }$ với tốc độ $1\text{ dm/s}$. Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai con vật bằng bao nhiêu dm (làm tròn đến hàng phần trăm của dm)?

Câu 5. Số lượt tải xuống (đơn vị: nghìn lượt) của một ứng dụng trò chơi mới ra mắt được mô hình hóa bởi hàm số $N(t)=\frac{a{t}^2+bt}{t^2+ct+d}$ (với $t\ge 0$ là thời gian tính bằng ngày kể từ lúc phát hành). Biết rằng tại thời điểm khảo sát hết ngày đầu tiên, ứng dụng đạt tổng cộng $17,5$ nghìn lượt tải. Đến hết ngày thứ $2$, tổng số lượt tải tích lũy đạt $30$ nghìn lượt tải. Khi chiến dịch quảng cáo kéo dài ra vô hạn, tổng số lượt tải của ứng dụng sẽ tiến dần về mức tối đa bão hòa thị trường là $100$ nghìn lượt. Tốc độ tăng trưởng lượt tải tại thời điểm khởi đầu được ghi nhận $20$ nghìn lượt/ngày. Kể từ ngày thứ $3$ trở đi, chi phí để duy trì chiến dịch quảng cáo này là $10$ triệu đồng/ngày cho tiền chạy quảng cáo. Biết rằng mỗi một nghìn lượt tải tăng thêm sẽ đem lại doanh thu cố định là $4$ triệu đồng. Để tối ưu hóa lợi nhuận, nhà phát hành nên dừng chạy chiến dịch quảng cáo này ngay sau khi kết thúc ngày thứ bao nhiêu?

Câu 6. Cho $a,b,c>0$ và khác $1$ thỏa mãn ${\log }_a(2a+b+c)={\log }_b(a+c)=2$. Tính giá trị biểu thức $P={\log }_{\sqrt[3]{c}}(b^{2}c-bc-c)$.