Đề Kiểm Tra HSG Toán 12 Lần 1 2026-2027 Cụm THPT - Bắc Ninh (Mã Đề 1001)

Câu 1. Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có độ dài cạnh bằng $a$. Gọi $M,N$ lần lượt là hai điểm thuộc đoạn thẳng $A{D}^{\prime }$ và $BD$ sao cho $AM=DN=x$, $0<x<a\sqrt{2}$. Khi độ dài $MN$ ngắn nhất cosin góc giữa $MN$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng.

Câu 2. Cho một hình tròn tâm $O$ bán kính là $R_1=60\text{ m}$. Dựng tam giác đều $A_1{B}_1{C}_1$ nội tiếp đường tròn $(O,R_1)$, sau đó dựng đường tròn nội tiếp tam giác $A_1{B}_1{C}_1$ là đường tròn tâm $O$ bán kính $R_2$. Dựng tam giác đều $A_2{B}_2{C}_2$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, bán kính $R_2$. Cứ tiếp tục làm quá trình như trên. Diện tích của tam giác $A_9{B}_9{C}_9$ (kết quả làm tròn hàng phần nghìn) là:

Câu 3. Gọi $m$ và $M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y=x+\sqrt{2-x^2}$. Khi đó $M-m$ bằng

Câu 4. Tập xác định của hàm số $y=(4-x^2{)}^{-\frac{1}{3}}+{\log }_2(x+1)$ là

Câu 5. Số nghiệm của phương trình $2(3x+1)\sqrt{2x^2-1}=3x^2+10x+3$ là

Câu 6. Tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{x^2-2x}\ge \frac{1}{27}$ là

Câu 7. Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ sau. Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 8. Một trung tâm cứu hộ động vật hoang dã chăm sóc hai cá thể động vật có khối lượng $x\text{ kg}$ và $y\text{ kg}$ ($x>0,y>0$). Khối lượng của hai cá thể thỏa mãn hệ thức $x^{\frac{3}{4}}+2\cdot y^{\frac{3}{4}}=12$. Chỉ số tương tác sinh học giữa hai cá thể được xác định bởi $S=\frac{1}{2}{x}^{\frac{3}{4}}+2y^{\frac{3}{4}}+\frac{64}{x^{\frac{3}{4}}\cdot y^{\frac{3}{4}}}$. Chỉ số $S$ đạt giá trị nhỏ nhất khi tỷ số khối lượng $\frac{y}{x}$ của hai cá thể bằng

Câu 9. Giả sử $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2=7ab$. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Câu 10. Giá trị của $\lim \frac{\sqrt{n^2+2n}-n}{2n+1}$ bằng

Câu 11. Cho hàm số $f(x)=\left|\frac{1}{4}{x}^4-\frac{7}{3}{x}^3+6x^2+a\right|$ (với $a$ là tham số). Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[0;4]$. Tổng các số nguyên $a$ thuộc $[-20;20]$ sao cho $M\le 4m$ bằng bao nhiêu?

Câu 12. Cho tứ diện $ABCD$ đều cạnh bằng $a$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$. Khi đó $\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{AB}$ bằng bao nhiêu?

Câu 13. Số nghiệm của phương trình $\cos 2x-2\cos x+2\sin x=0$ trên $[0;3\pi ]$ là

Câu 14. Với các số thực $a>0,b>0$, rút gọn biểu thức $K=\frac{a^{\frac{4}{3}}b+a{b}^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$ ta được kết quả là

Câu 15. Cho biết $\sin \alpha -\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}$. Giá trị của $P=\sqrt{{\sin }^4\alpha +{\cos }^4\alpha }$ là

Câu 16. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ tại giao điểm của đồ thị với trục tung có hệ số góc bằng

Câu 17. Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị $(C)$. Biết rằng tiếp tuyến của $(C)$ tại tâm đối xứng $I(1;2)$ có phương trình là $d:y=-3x+5$. Qua điểm $A(0;4)$ kẻ được đúng hai tiếp tuyến phân biệt đến đồ thị $(C)$ với các tiếp điểm lần lượt là $M$ và $N$. Giá trị của tích hoành độ hai tiếp điểm $x_M\cdot x_N$ bằng:

Câu 18. Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ.



Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ để phương trình $\frac{1}{3}f\left(\frac{x}{2}+1\right)+x+1=m$ có nghiệm thuộc đoạn $[-2;2]$?

Câu 19. Cho $f(x)$ là hàm đa thức bậc ba và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.



Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[-100;100]$ để đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{1+m{x}^2}}{f(x)-m}$ có đúng hai đường tiệm cận?

Câu 20. Một chất điểm chuyển động có phương trình $s(t)=t^3-3t^2-9t+2$, trong đó $t$ được tính bằng giây và $s(t)$ được tính bằng mét. Gia tốc của chất điểm đó tại thời điểm vận tốc bằng $0$ là

Câu 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Các tam giác $SAB,SCD$ cân tại $S$ và có tổng diện tích hai tam giác này bằng $\frac{5a^2}{8}$. Mặt phẳng $(SAB)$ vuông góc với mặt phẳng $(SCD)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $(ABCD)$.

Câu 2. Một chiếc đèn được đặt trên đỉnh của một cột đèn cao $h\text{ (m)}$ để chiếu sáng một vòng xuyến giao thông đông đúc có bán kính $12\text{ m}$. Cường độ ánh sáng $I$ tại một điểm $P$ trên vòng xuyến tỉ lệ thuận với cosin của góc $\theta$ và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách $d\text{ (m)}$ từ nguồn sáng đến điểm $P$ (hình dưới).

Câu 3. Một xưởng sản xuất nhận được đơn đặt hàng là $8000$ sản phẩm $Y$. Trong xưởng có một số máy móc, mỗi máy có khả năng sản xuất $30$ sản phẩm $Y$ trong một giờ. Chi phí thiết lập mỗi máy là $200$ nghìn đồng. Sau khi thiết lập, quá trình sản xuất sẽ diễn ra hoàn toàn tự động và cần hai người giám sát. Chi phí cần trả mỗi người giám sát là $96$ nghìn đồng mỗi giờ. Gọi $x$ là số máy mà xưởng cần dùng để sản xuất, khi đó:

Câu 4. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(0;0;-1),B(-1;1;0),C(1;0;1)$.

Câu 5. Cho hàm số $f(x)=\ln \left(\sqrt{x^2+1}-x\right)+2026^x-2026^{-x}$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Câu 6. Một hệ thống truyền tải dữ liệu số trong viễn thông gửi liên tiếp các gói tin qua một kênh truyền dẫn. Do nhiễu đường truyền, mỗi gói tin khi gửi đi có xác suất bị lỗi độc lập là $0,1$ (xác suất truyền thành công là $0,9$). Để tăng độ tin cậy, giao thức mạng áp dụng quy tắc: Một tệp dữ liệu được chia làm nhiều khối, mỗi khối gồm $n$ gói tin độc lập. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Câu 7. Cho phương trình $\frac{\cos 2x+m}{\sin x-1}=0$.

Câu 8. Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và hàm số $y=f^{\prime }(x)$ là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong như hình vẽ sau:

Câu 1. Một xưởng cơ khí có hai công nhân là An và Bình. Xưởng sản xuất hai loại sản phẩm $I$ và $II$. Mỗi sản phẩm loại $I$ bán lãi $500$ nghìn đồng, mỗi sản phẩm loại $II$ bán lãi $400$ nghìn đồng. Để sản xuất được một sản phẩm loại $I$ thì An phải làm việc trong $3$ giờ, Bình phải làm việc trong $1$ giờ. Để sản xuất được một sản phẩm loại $II$ thì An phải làm việc trong $2$ giờ, Bình phải làm việc trong $6$ giờ. Một người không thể tham gia làm hai loại sản phẩm tại cùng một thời điểm. Biết rằng trong một tháng An không thể làm việc quá $180$ giờ và Bình không thể làm việc quá $220$ giờ. Số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng đó là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 2. Một hộp chứa $18$ quả cầu gồm $8$ quả màu đỏ (được đánh số từ $1$ đến $8$) và $10$ quả màu xanh (được đánh số từ $1$ đến $10$). Lấy ngẫu nhiên đồng thời $4$ quả cầu từ hộp. Biết rằng xác suất để lấy được $4$ quả cầu thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
1. Có cả quả màu đỏ và quả màu xanh.
2. Không có hai quả cầu nào cùng màu mà có số thứ tự liên tiếp nhau.
có dạng tối giản là $\frac{a}{b}$ với $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Tính giá trị của biểu thức $T=a+b$.

Câu 3. Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ mà khoảng cách từ đỉnh $A$ đến $(SBC)$ bằng $2a$. Khi thể tích của khối chóp đạt giá trị nhỏ nhất, hãy tính số đo góc nhị diện $[S,AD,B]$ theo đơn vị radian (kết quả chính xác đến hàng phần trăm).

Câu 4. Để thiết lập kênh truyền thông bảo mật tuyệt đối qua mạng sợi quang đô thị, một viện công nghệ sử dụng các photon phân cực đơn lẻ phát ra từ nguồn laser. Do hiện tượng hấp thụ và tán xạ Rayleigh, xác suất $P(d)$ để một photon vượt qua thành công đoạn sợi quang có chiều dài $d$ (tính bằng km) mà không bị suy hao được mô hình hoá bởi hàm số: $P(d)=2^{-k\cdot d}$ trong đó $k$ là suất suy hao quang học của sợi quang ($k>0$).
1. Trong giai đoạn kiểm chuẩn ban đầu trên một tuyến cáp thử nghiệm dài $12\text{ km}$, máy đếm photon đầu cuối đo được tỷ lệ photon bị thất thoát (suy hao) là $75\%$.
2. Khi triển khai kết nối thực tế giữa hai trung tâm điều hành, máy phát sử dụng xung laser có tần số xung cực cao, liên tục phát ra $N=10^8$ photon mỗi giây vào sợi quang. Để giao thức mã hoá bảo mật lượng tử tự động duy trì hoạt động liên tục (không bị ngắt kết nối do lỗi thiếu photon), trạm thu phải thu nhận được tối thiểu $25$ photon mỗi giây.
Hỏi khoảng cách tối đa $d_{\max }$ giữa hai trung tâm điều hành là bao nhiêu kilômét? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của kilômét).

Câu 5. Anh Tuấn sống và làm việc tại trạm hải đăng cách bờ biển $3\text{ km}$. Hàng tuần anh Tuấn đi xuồng máy vào vị trí gần nhất trên bờ biển là bến Bình để nhận hàng hoá do cơ quan cung cấp. Tuần này, do trục trặc về vận chuyển nên toàn bộ số hàng vẫn đang nằm ở chợ Hoành, bên bờ biển cách bến Bình $11,5\text{ km}$ và sẽ được anh Nam vận chuyển trên con đường dọc bờ biển tới bến Bình bằng xe kéo. Anh Tuấn đã gọi điện thống nhất với anh Nam là họ sẽ gặp nhau ở vị trí nào đó trên bờ biển nối giữa bến Bình và chợ Hoành để hai người có mặt tại đó cùng lúc, không mất thời gian chờ nhau. Hỏi vị trí điểm hẹn hai người dự định gặp nhau cách bến Bình bao nhiêu km, biết rằng vận tốc của anh Nam là $15\text{ km/h}$, vận tốc của anh Tuấn là $10\text{ km/h}$. Giả thiết rằng đường bờ biển từ chợ Hoành đến bến Bình là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng nối từ trạm hải đăng đến bến Bình và anh Tuấn cũng luôn lái xuồng theo đường thẳng từ trạm hải đăng đến điểm hẹn.

Câu 6. Sửa chữa, xây dựng lối đi (cầu gỗ) là một biện pháp thường gặp để nâng cao hiệu quả tham quan du lịch. Như hình vẽ, một hồ chứa có một đảo nhỏ hình nửa đường tròn bán kính $1$ (trăm mét), tâm là $C$, và đường kính $MN$ song song với mặt đập. Trên mặt đập có điểm $A$ thỏa mãn $AC\perp MN$ và $AC=3$ (trăm mét). Để thuận tiện cho du khách ra đảo ngắm cảnh, dự định xây ba đoạn lối đi $AB,BD,BE$. Điểm $B$ nằm trên đoạn $AC$; các đoạn $BD,BE$ đều là tiếp tuyến của đường tròn tâm $C$, các tiếp điểm lần lượt là $D,E$. Biết rằng các đoạn $AB,BD,BE$ và đảo nằm trong cùng một mặt phẳng. Ngoài ra, trên đảo nửa tròn còn xây thêm các lối đi theo cung $\stackrel{⌢}{\mathrm{ME}}$, cung $\stackrel{⌢}{\mathrm{ND}}$ và đoạn thẳng $MN$. Bỏ qua các yếu tố khác, cần xây tổng chiều dài lối đi nhỏ nhất là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)