Đề Thi Học Sinh Giỏi cấp tỉnh - chọn đội tuyển tham dự kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia THPT - Thanh Hóa - Ngày 1

Với $n$ là số nguyên dương, xét các số thực dương $a_0,a_1,\dots ,a_n$ thỏa mãn các điều kiện: $a_0$ là một số nguyên, $$\sum _{i=1}^n\frac{1}{a_i}\le 1$$ và $a_i\le a_{i-1}+1$ với mọi $i\in \{1,2,\dots ,n\}$.

a) Chứng minh rằng $n\le 2a_0$.

b) Tìm hằng số $C$ nhỏ nhất để $n\le C{a}_0{\sum }_{i=1}^n\frac{1}{a_i}$ với mọi $n\ge 1$.

Cho tam giác nhọn $ABC$ $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$, có tâm đường tròn nội tiếp là $I$. Đường thẳng vuông góc với $AI$ tại $I$ cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại $E$ và $F$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt đường tròn $(O)$ và đường thẳng $AI$ tương ứng tại $G$, $H$ ($G$ khác $A$).

a) Gọi $(O_1)$ là đường tròn tiếp xúc với các cạnh $AB$, $AC$ và tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$ tại $T$. Chứng minh rằng bốn điểm $G$, $T$, $H$, $I$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Tiếp tuyến tại $G$ của $(O)$ cắt đường thẳng $BC$ tại $J$, đường thẳng $AJ$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $K$ khác $A$. Gọi $D$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên đường thẳng $BC$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $DJK$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $GHI$ tiếp xúc với nhau.

Một điểm lưới là một điểm $(x;y)$ trên mặt phẳng tọa độ sao cho $x$, $y$ là các số nguyên dương không vượt quá 20. Ta nói điểm $B=(x^{\prime };y^{\prime })$ nằm về phía Đông Bắc của điểm $A=(x;y)$ nếu $x^{\prime }>x$ và $y^{\prime }>y$. Ba điểm lưới $A$, $B$, $C$ được gọi là một bộ ba Đông Bắc nếu $B$ nằm về phía Đông Bắc của $A$ và $C$ nằm về phía Đông Bắc của $B$.

Một tập hợp gồm 20 điểm lưới được gọi là Lam Sơn nếu mọi đường thẳng đi qua hai điểm trong tập hợp đều không song song với các trục tọa độ, đồng thời tập hợp chứa ít nhất một bộ ba Đông Bắc.

a) Chứng minh rằng trong mỗi tập Lam Sơn luôn tồn tại ba điểm $X$, $Y$, $Z$ sao cho $X{Y}^2\ge X{Z}^2+Z{Y}^2+4$.

b) Hỏi có bao nhiêu tập Lam Sơn?