Đề Thi Học Sinh Giỏi Cấp Tỉnh Toán 12 Sở GD&ĐT Nam Định 2024-2025

Cho hàm số $f(x)={\log }_2\left(x^2-5x+6\right)$. Đạo hàm của hàm số đã cho là

Xí nghiệp A sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết rằng hàm tổng chi phí sản xuất là $TC=x^3-77x^2+1000x+40000$ và hàm doanh thu là $TR=-2x^2+1312x$, với $x$ là số sản phẩm sản xuất. Lợi nhuận của xí nghiệp A được xác định bằng hàm số $f(x)=TR-TC$. Số sản phẩm sản xuất bằng bao nhiêu thì xí nghiệp A đạt lợi nhuận nhiều nhất?

Kính viễn vọng không gian Hubble được đưa vào vũ trụ ngày 24/4/1990 bằng tàu con thoi Discovery. Vận tốc của tàu con thoi trong sứ mệnh này, từ lúc cất cánh tại thời điểm $t=0(s)$ cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi tại thời điểm $t=126(s)$, cho bởi hàm số $v(t)=0,001302t^3-0,09029t^2+23$,

($v$ được tính bằng ft/s, $1\text{ft}=0,3048m$).



(Nguồn: https://en.wikipedia.org/wiki/Hubble_Space_Telescope)

Tính từ thời điểm cất cánh cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi gia tốc của tàu con thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian nào dưới đây?

Gọi $A,B$ là hai điểm phân biệt thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{x^2}{x-1}$ và đối xứng với nhau qua đường thẳng $y=x-1$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có khoảng cách giữa hai đường thẳng $A^{\prime }C$ và $C{D}^{\prime }$ bằng $a$. Độ dài cạnh hình lập phương bằng

Cho một tấm gỗ hình vuông cạnh $200$ cm. Người ta cắt một tấm gỗ có một hình tam giác vuông $ABC$ từ tấm gỗ hình vuông đã cho có hình vẽ dưới đây



Giả sử $AB=x$ cm $(0<x<60)$ là một cạnh góc vuông của tam giác giác $ABC$ và tổng độ dài cạnh góc vuông $AB$ với cạnh huyền $BC$ bằng $120$ cm. Gọi $S(x)$ là diện tích của tam giác $ABC$. Khi $S(x)$ đạt giá trị lớn nhất thì $x$ bằng bao nhiêu?

Cho hàm số $f(x)=2024\ln \left({\mathrm{e}}^{\frac{x}{2024}}+\sqrt{\mathrm{e}}\right)$. Giá trị của biểu thức $T=f^{\prime }(1)+f^{\prime }(2)+...+f^{\prime }(2025)$ là

Biết hàm số $F(x)=x^2$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Giá trị của $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left[2+f(x)\right]\mathrm{d}x$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AD=2,AB=2\sqrt{2}$; đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA=4$. Gọi $M$, $N$ là các điểm thỏa mãn $\overrightarrow{BM}=x\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{SN}=y\overrightarrow{SC}$ $(x,y\in \mathbb{R})$. Khi độ dài đoạn $MN$ nhỏ nhất thì tổng $2x+3y$ bằng bao nhiêu?

Một người dự định làm một bể nước bằng kính có dạng hình lăng trụ tứ giác đều không nắp và có thể tích là $16m^3$. Biết giá của mỗi mét vuông kính là 500000 đồng và số tiền tối thiểu mua kính để làm bể nước trên là $a$ triệu đồng. Hỏi $a$ thuộc khoảng nào sau đây?

Biết hàm số $F(x)=\left(ax+b+\frac{c}{x}\right)e^{x-\frac{2}{x}}$, $(a,b,c\in \mathbb{Z})$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\left(1+x+\frac{2}{x}\right)e^{x-\frac{2}{x}}$ trên khoảng $(0;+\infty )$. Giá trị của biểu thức $P=a^2-2024bc$ bằng

Biểu đồ dưới đây mô tả kết quả điều tra về mức lương khởi điểm (đơn vị: triệu đồng) của một số công nhân ở hai khu vực $A$ và $B$.



Gọi $S_A^2,S_B^2$ lần lượt là phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của khu vực $A$ và $B$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hàm số $y=\frac{x^2+bx+c}{mx+n}$ $(m\ne 0)$ có bảng biến thiên như sau



Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{0\}$. Biết $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$ và $f(2)=1,f(-2)=2$. Giá trị của biểu thức $f(-3)+f(3)$ bằng

Trong nội dung thi điền kinh và bơi lội phối hợp được diễn ra tại một hồ bơi có chiều rộng 50 m và chiều dài 200 m. Một vận động viên cần chạy phối hợp với bơi (bắt buộc cả hai) khi phải thực hiện lộ trình xuất phát từ A đến B như hình vẽ sau:



Hỏi rằng sau khi chạy được bao xa (quãng đường $x$) thì vận động viên nên nhảy xuống để tiếp tục bơi về đích nhanh nhất? Biết rằng vận tốc của vận động viên khi chạy trên bờ và khi bơi lần lượt là 4,5 m/s và 1,5 m/s .

Cho hàm số $y=f(x)=\frac{1}{3}{x}^3+ax$ có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi $S_1$, $S_2$ lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo. Khi $2S_1+S_2=3$ thì $a$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Thể tích $V$ của một kg nước (tính bằng $c{m}^3$) ở nhiệt độ $T$ (đơn vị: ${}^{0}C$) thay đổi từ $0^{0}C$ đến $30^{0}C$ được cho xấp xỉ bởi công thức $V=999,87-0,06426T+0,0085043T^2-0,0000769T^3$ .

(Nguồn: James Stewart, J. (2015). Calculus. Cengage Learing 8${}^{th}$ edition, p.284)

Biết rằng kể từ $T_0$ ${}^{0}C$ trở đi, với $0^0\le T_0\le 30^{0}C$ thể tích $V$ tăng, hãy tìm $T_0$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đồ thị của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-3;5]$ như hình vẽ bên (phần cong của đồ thị là một phần của Parabol $y=a{x}^2+bx+c$ ). Tính $I=\underset{-2}{\overset{3}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ .

Với $a<b$, đặt $P={\int }_a^b\left(-x^4+5x^2-4\right)dx$. Khi $P$ có giá trị lớn nhất thì $a^2+b^2$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $SC$; $(P)$ lần lượt cắt $SB,SD,SC$ tại $H,K,I$. Tính $\tan \left(\widehat{SKI}+\widehat{SHI}\right)$.

Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x^2+x+1}{x+1}$ có đồ thị $(C)$.

Câu 22: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 2, cạnh bên $SA=2\sqrt{3}$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. (Tham khảo hình vẽ dưới đây)

Câu 23: Một tháp trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao $80m$ sử dụng ra đa có phạm vi theo dõi $500km$ được đặt trên đỉnh tháp. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất sao cho trục $Ox$ hướng về phía tây, trục $Oy$ hướng về phía nam, trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên phía trên (như hình vẽ) (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét).



Một máy bay tại vị trí A cách mặt đất $10km$, cách $300km$ về phía đông và $200km$ về phía bắc so với tháp trung tâm kiểm soát không lưu.

Câu 24: Mẫu số liệu ghép nhóm thống kê mức lương của hai công ty $A,B$ (đơn vị: triệu đồng) được thể hiện như bảng dưới đây

Câu 25: Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)$ có đồ thị như hình dưới đây

Câu 26: Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao $18m$, chiều rộng chân đế $12m$. Người ta căng hai sợi dây trang trí $AB$, $CD$ theo phương nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi Parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ dưới đây).

Câu 27: Tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\ln \left(x^2+x+1\right)+1$ trên đoạn $[0;2]$ bằng bao nhiêu? ( kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 28: Một máy bơm nước vào bể chứa, gọi $h(t)$ là thể tích nước bơm được sau $t$ giây. Cho $h^{\prime }(t)=3a{t}^2+bt\left(m^3/s\right)$ và ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là $150m^3$. Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là $1100m^3$. Hỏi thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là bao nhiêu $m^3$?

Câu 29: Cho lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có độ dài cạnh bên và cạnh đáy bằng 3. Gọi $M,N$ là hai điểm lần lượt thuộc các cạnh $A{B}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$ sao cho $\overrightarrow{B^{\prime }M}=2\overrightarrow{MA}$; $\overrightarrow{BN}=2\overrightarrow{N{C}^{\prime }}$. Độ dài đoạn thẳng $MN$ bằng bao nhiêu?

Câu 30: Cho hàm số $y=f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+n}$ (với $a\ne 0$) có đồ thị là đường cong như hình vẽ dưới đây. Tổng $a+b+c+n$ bằng bao nhiêu?

Câu 31: Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{{\sin }^{2}x.{\cos }^{2}x}$ trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ là hàm số $F(x)=a\cot bx+C$, trong đó $a,b$ là các số nguyên, $C$ là hằng số tùy ý. Tích $a.b$ bằng bao nhiêu?

Câu 32: Cho hàm số $y=x+1+\frac{1}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Điểm $M$ di động trên đồ thị $(C)$, tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ tạo với hai tiệm cận của $(C)$ một tam giác có diện tích bằng bao nhiêu?

Câu 33: Hai con tàu T1 và T2 đang đỗ ở hai vị trí $A$ và $B$ cách nhau 5 hải lý. Đồng thời cả hai tàu cùng khởi hành theo hướng không đổi, tàu T2 chạy về vị trí $A$ với vận tốc 7 hải lý/giờ, tàu T1 chạy với vận tốc 6 hải lý/giờ theo hướng vuông góc với $\mathbf{AB}$. Giả sử tại thời điểm t sau khi xuất phát, khoảng cách giữa hai tàu là $\mathbf{d}$. Khi đó tàu T1 đang ở vị trí $C$ và tàu T2 đang ở vị trí $D$ như hình vẽ. Xét trong khoảng thời gian tàu T2 chạy từ $\mathbf{B}$ đến A thì $\mathbf{d}$ lớn nhất là bao nhiêu hải lý (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Câu 34: Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô tả bằng hàm số $y=f(x)=\left(\frac{5000}{1+5e^{-x}}\right)$, trong đó thời gian $x$ được tính bằng năm kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi tốc độ bán hàng đạt tối đa vào thời điểm năm thứ bao nhiêu?

Câu 35: Sau khi đo kích thước của thùng rượu vang (Hình vẽ dưới), bạn Quân xác định thùng rượu vang có dạng hình tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=-0,011x^2-0,071x+40$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=-35;x=35$ quay quanh trục $Ox$. Tính thể tích thùng rượu vang đó, biết đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimét (làm tròn kết quả đến hàng trăm của đơn vị centimét).

Câu 36: Ba chiếc máy bay không người lái cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Đông $60(km)$ và về phía Nam $40(km)$, đồng thời cách mặt đất $2(km)$. Chiếc máy bay thứ hai cách điểm xuất phát về phía Bắc $80(km)$ và về phía Tây $50(km)$, đồng thời cách mặt đất $4(km)$. Chiếc máy bay thứ ba nằm chính giữa của chiếc máy bay thứ nhất và thứ hai, đồng thời ba chiếc máy bay này thẳng hàng.



Khoảng cách của chiếc máy bay thứ ba đến vị trí tại điểm xuất phát của nó bằng bao nhiêu kilômét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của đơn vị kilômét)?